Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
e o raio de convergência. Vamos usar frações parciais e as séries conhecidas de
e
.
Passo 2
Queremos escrever
como soma de termos cujas séries conhecemos. Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
$$
1+x=A(1+x^2)+(Bx+C)(1-x)
A=1,\quad B=1,\quad C=0
Passo 3
Agora usamos as séries conhecidas. Para
:
e colocando
Passo 4
Somando as duas séries temos a expansão de Maclaurin de
válida para
. O raio de convergência é o menor dos dois raios (ambos valem 1), ou seja,
.