Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=1+x(1-x)(1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=1+x(1-x)(1+x^2) e o raio de convergência. Vamos usar frações parciais e as séries conhecidas de 1/(1-x) e 1/(1+u).

Passo 2

Queremos escrever f(x) como soma de termos cujas séries conhecemos. Fazemos a decomposição
1+x(1-x)(1+x^2)=A1-x+Bx+C1+x^2
Multiplicando ambos os lados por (1-x)(1+x^2) e comparando coeficientes obtemos
$$
1+x=A(1+x^2)+(Bx+C)(1-x)
1+x=A(1+x^2)+(Bx+C)(1-x) ê
A=1,\quad B=1,\quad C=0
x\frac{1+x}{(1-x)(1+x2)}=\frac{1}{1-x}+\frac{x}{1+x2}$$

Passo 3

Agora usamos as séries conhecidas. Para |x|<1:
11-x=sumn=0^inftyx^n
e colocando u=x^2 em 1/(1+u)=sumn=0^infty(-1)^n u^n obtemos
x1+x^2=xsumn=0^infty(-1)^n x^2n=sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1

Passo 4

Somando as duas séries temos a expansão de Maclaurin de f(x) válida para |x|<1. O raio de convergência é o menor dos dois raios (ambos valem 1), ou seja, R=1.

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyx^n;+ sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1, R=1

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