\int_{0}^{\pi / 4}\left(1+e^{\operatorname{tg} \theta}\right) \operatorname{sec} ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}\left(1+e^{\operatorname{tg}\theta}\right)\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Informações dadas:
  • O integrando é \left(1+e^{\operatorname{tg}\theta}\right)\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Os limites de integração são \theta=0 e \theta=\pi/4.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Observação (motivo da escolha do método): dentro do integrando aparece \operatorname{tg}\theta (ou \tan\theta) no expoente e também aparece o fator \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Isso sugere usar a substituição que transforma \tan\theta em uma nova variável, porque a derivada de \tan\theta é exatamente \operatorname{sec}^{2}\theta. Vou mostrar isso com calma.
Lembrete útil (derivada de \tan\theta): a função \tan\theta é \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. Aplicando a regra do quociente (ou sabendo a derivada padrão), obtém‑se
\frac{d}{d\theta}\big(\tan\theta\big)=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Portanto, se fizermos a substituição u=\tan\theta, teremos du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Essa é a chave que simplifica a integral.

Passo 3

Faço a substituição explícita:
u=\tan\theta,\qquad du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Agora transformo também os limites de integração em termos de u:
\text{quando }\theta=0,\; u=\tan 0 = 0.
\text{quando }\theta=\pi/4,\; u=\tan\frac{\pi}{4} = 1.

Passo 4

Substituo na integral original: como du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e \operatorname{tg}\theta=\tan\theta=u, a integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/4}\left(1+e^{\operatorname{tg}\theta}\right)\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{1}\big(1+e^{u}\big)\,du.

Passo 5

Calculo a integral em u. A primitivade (antiderivada) de 1 é u. A primitiva de e^{u} é e^{u}. Logo uma primitiva de 1+e^{u} é u+e^{u}. Avaliando nos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\big(1+e^{u}\big)\,du = \big[\,u+e^{u}\,\big]_{0}^{1} = \big(1+e^{1}\big)-\big(0+e^{0}\big).
Como e^{1}=e e e^{0}=1, isso dá
(1+e)-(0+1)=e.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a integral inteira simplificou muito por causa da substituição u=\tan\theta. Sempre que vir uma função composta com \tan\theta e um fator \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, já pense nessa substituição — ela é uma ferramenta poderosa e rápida. Boa: você resolveu direto!

Resposta

e

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