Determine a área sob um arco da cicloide
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar a área sob um arco completo da cicloide dada por
x(t)=R(t−sen t),
y(t)=R(1−cos t)
para t∈[0,2π], usando técnicas de integração paramétrica.
x(t)=R(t−sen t),
y(t)=R(1−cos t)
para t∈[0,2π], usando técnicas de integração paramétrica.
Passo 2
A fórmula de área sob curva em parametrização é
Aqui temos a<math>a=0</math> e <math>b=2π</math>. Vamos precisar de <math>x’(t)</math> e <math>y(t)</math>.
Passo 3
Calculando as funções:
e
Logo o integrando é
Passo 4
Agora integramos de 0 a 2π:
Usando
obtemos
Passo 5
Avaliando cada termo:
Somando dá 3π. Logo