Determine a área sob um arco da cicloide
x(t)=R(t-sen t), y(t)=R(1-cos t), R>0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a área sob um arco completo da cicloide dada por
x(t)=R(t−sen t),
y(t)=R(1−cos t)
para t∈[0,2π], usando técnicas de integração paramétrica.

Passo 2

A fórmula de área sob curva em parametrização é
A=integrala^b y(t),x'(t),dt
Aqui temos a<math>a=0</math> e <math>b=2π</math>. Vamos precisar de <math>x’(t)</math> e <math>y(t)</math>.

Passo 3

Calculando as funções:
x'(t)=ddtl[R(t−sin t)r]=R(1−cos t),
e
y(t)=R(1−cos t)
Logo o integrando é
y(t),x'(t)=R^2(1−cos t)^2

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2π:
A=R^2integral0^2π(1−cos t)^2,dt =R^2integral0^2πl(1−2cos t+cos^2 tr)dt
Usando cos^2 t=(1+cos2t)/2 obtemos
integral0^2π(1−2cos t+tfrac1+cos2t2)dt =integral0^2πl(tfrac32−2cos t+tfraccos2t2r)dt

Passo 5

Avaliando cada termo:
integral0^2πtfrac32dt=3π, integral0^2π(-2cos t)dt=0, integral0^2πtfraccos2t2dt=0
Somando dá 3π. Logo
A=R^2cdot3π=3πR^2

Resposta

3pi R^2

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