Encontre a área da região varrida pela reta da origem até a elipse
se
variar de
a
(Sugestão: Use a mesma fórmula usada para encontrar a área de uma elipse.)
(Sugestão: Use a mesma fórmula usada para encontrar a área de uma elipse.)
Passo 1
O enunciado pede a área da região varrida pela reta que liga a origem ao ponto
$ (x,y) = (a\cos t,,b\sin t) $ quando varia de
até
. O conteúdo usado será: cálculo de área via integral de linha orientada usando a fórmula
$ (x,y) = (a\cos t,,b\sin t) $ quando
que vem de Green. Vamos precisar parametrizar o contorno e aplicar essa fórmula.
Passo 2
A fronteira da região é composta por três trechos: (i) reta de origem até
, (ii) arco da elipse de
até
, e (iii) reta de
de volta à origem. Como ambos os trechos retos passam pela origem, para eles vale
Logo só precisamos integrar ao longo do arco da elipse.
Passo 3
Para o arco da elipse usamos a parametrização
Derivando:
O integrando fica
Passo 4
Substituindo na fórmula de área restrita ao arco:
Passo 5
Integrando em
:
Essa expressão recupera a área completa
Passo 6
Resposta final: