Encontre a área da região varrida pela reta da origem até a elipse x=a cos t, y=b sen t se t variar de t=0 a t=t0 (0 <= t0 <= 2 pi)
(Sugestão: Use a mesma fórmula usada para encontrar a área de uma elipse.)

Passo 1

O enunciado pede a área da região varrida pela reta que liga a origem ao ponto
$ (x,y) = (a\cos t,,b\sin t) $ quando (x,y) = (acos t,,bsin t) varia de t até 0. O conteúdo usado será: cálculo de área via integral de linha orientada usando a fórmula
t0
que vem de Green. Vamos precisar parametrizar o contorno e aplicar essa fórmula.

Passo 2

A fronteira da região é composta por três trechos: (i) reta de origem até t=0, (ii) arco da elipse de t=0 até t=t0, e (iii) reta de t=t0 de volta à origem. Como ambos os trechos retos passam pela origem, para eles vale
x(lambda)=lambda xi,;y(lambda)=lambda yiimplies x,dy - y,dx=0
Logo só precisamos integrar ao longo do arco da elipse.

Passo 3

Para o arco da elipse usamos a parametrização
x(t)=acos t, y(t)=bsin t, tin[0,t0]
Derivando:
x'(t)=-asin t, y'(t)=bcos t
O integrando fica
x,y' - y,x' = acos tcdot bcos t - bsin tcdot(-asin t) = ab(cos^2 t + sin^2 t)=ab

Passo 4

Substituindo na fórmula de área restrita ao arco:
A=12 integral0^t0 l[x(t),y'(t)-y(t),x'(t)r],dt = 12 integral0^t0 ab,dt

Passo 5

Integrando em t:
A=ab2,t0
Essa expressão recupera a área completa pi ab quando t0=2pi, conforme esperado.

Passo 6

Resposta final:

Resposta

A=tfracab2,t0.

Exercícios relacionados