Determine a área da superfficie de revoluçio gerada pelas funções abaixo, em tormo do eixo x .
y=tg x, 0 <= x <= pi4

Passo 1

Resumo da questão: a gente quer a área da superfície obtida ao girar a curva y = tan x, para 0 ≤ x ≤ π/4, em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de áreas de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula S = 2pi integrala^b y raiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Calculando a derivada: como y=tan x, temos y'=sec^2 x. Então a fórmula vira
S = 2pi integral0^pi/4 tan x raiz1+sec^4 x,dx

Passo 3

Primeira troca de variável: defina u = sec x, daí du = sec xtan x,dx e tan x,dx = du/u. Quando x=0, u=1 e quando x=pi/4, u=raiz2. A integral fica
S = 2pi integral1^raiz2 raiz1+u^4u,du

Passo 4

Segunda troca de variável: ponha t = u^2, logo dt = 2u,du e du = dt/(2u). Com isso
S = 2pi integralt=1^2 raiz1+t^2ucdotdt2u = pi integral1^2 raiz1+t^2t,dt

Passo 5

Agora usamos a primitiva conhecida
integral raiz1+t^2t,dt = raiz1+t^2 + lnl(t1+raiz1+t^2r) + C

Passo 6

Avaliação no intervalo [1,2]: seja F(t)=raiz1+t^2+lnl(tfract1+raiz1+t^2r). Então
F(2)=raiz5+lnl(21+raiz5r), F(1)=raiz2+lnl(11+raiz2r)=raiz2-ln(1+raiz2)
Logo a área é
S=pil[F(2)-F(1)r]=pil(raiz5-raiz2+ln2(1+raiz2)1+raiz5r)

Resposta

S=pil(raiz5-raiz2+ln2(1+raiz2)1+raiz5r)

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