Determine o comprimento das curvas abaixo:
y=13(x^2+3)^32, de x=0 a x=3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = 13l(x^2+3r)^tfrac32,
para 0<= x<=3.
O conteúdo usado é a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x):
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculemos y'.
y = 13(x^2+3)^tfrac32 Longrightarrow y'=13cdot32(x^2+3)^tfrac12cdot2x =xraizx^2+3
Logo,
1+(y')^2 =1 + x^2(x^2+3) =x^4+3x^2+1

Passo 3

Montamos a integral do comprimento:
L=integral0^3raizx^4+3x^2+1;dx

Passo 4

Para calcular
integralraizx^4+3x^2+1,dx
nota-se que é uma integral do tipo integralraizu^2+a^2,du após um ajuste adequado, e seu resultado geral pode ser escrito como
F(x) =x2raizx^4+3x^2+1 +32,lnl(x+raizx^4+3x^2+1r)
Verifica-se por diferenciação que F'(x)=raizx^4+3x^2+1.

Passo 5

Avaliar de 0 a 3:
L =F(3)-F(0) =l[x2raizx^4+3x^2+1 +32lnl(x+raizx^4+3x^2+1r)r]0^3
Em x=3 temos raiz3^4+3cdot3^2+1=raiz109, e em x=0 só sobra ln1=0. Portanto
L =32raiz109 +32lnl(3+raiz109r)

Resposta

L =3raiz1092 +32,ln!l(3+raiz109r)

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