Determine as volumes dos solidos obtidos com is rotagio das regioes limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo! Precisamos encontrar o volume do sólido que resulta quando a área delimitada pelas curvas
,
,
e
gira ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções e os limites de integração. A função que define a fronteira de cima da região é
. Os limites de
são de
a
. Como vamos girar em torno do eixo
, usaremos a fórmula do volume pelo método dos discos:
Aqui,
é a função que estamos girando, e
e
são os limites de integração, que são
e
respectivamente.
Passo 3
Agora, substituímos os valores na fórmula. Nossa função é
, então:
Simplificando
, obtemos
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. A integral de
é
, então:
Sabemos que
, então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.