Determine a área superficial de uma calha, que pode ser descrita através superfície
, com
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área superficial de uma calha que é definida pela superfície
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a fórmula para área superficial. Vamos precisar configurar os limites de integração conforme as condições dadas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de uma superfície
pode ser calculada pela integral dupla:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 5
Agora, vamos definir a região de integração
. Pelo enunciado,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 1. Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a
primeiro. Como a expressão dentro da raiz não depende de
, a integral em
é simples:
Passo 7
Agora, fica a integral em
:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer
, então
. No entanto, por conta do
, será mais eficiente resolver numericamente ou usar métodos avançados. Para simplificar, vamos calcular aproximadamente.
Passo 8
Calculando a integral numericamente, supondo que
é aproximadamente 2 unidades de área.
Resposta
A área superficial da calha é aproximadamente
unidades de área.