Obtenha o valor das integrais de superfície:
da função
para superfície
dada pelo região do paraboloide
que é interior ao cilindro
.
da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para encontrar o valor da integral de superfície da função
sobre a superfície
, que é uma parte do paraboloide
dentro do cilindro
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração de superfície e coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O paraboloide é dado por
, e o cilindro por
. Podemos reescrever a equação do cilindro para facilitar:
, que completa o quadrado em
fica
. Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
.
Então, a região de integração no plano
é o círculo de raio 1 centrado em
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar essa região.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, temos que
,
, e
. O nosso paraboloide se torna
.
A integral de superfície de uma função
sobre uma superfície
parametrizada por
é dada por:
onde
é a região no plano
e
é o vetor produto cruzado dos vetores derivados parciais da parametrização.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Agora, o produto cruzado
é:
A norma desse vetor é:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos agora determinar os limites de integração. Como a região
é o círculo
, em coordenadas cilíndricas isso corresponde a
variando de 0 a 2
(aplicando a transformação do cilindro). Então, os limites são:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro. Faça a substituição
, então
ou
. Porém, isso pode complicar, então uma alternativa é usar integrais por partes ou olhar para uma tabela de integrais para encontrar:
Após realizar a integração, obtemos uma expressão em termos de
, que depois avaliaremos nos limites de 0 a
.
Passo 8
Após integrar e simplificar, substituímos os limites de
e, em seguida, integramos em relação a
. O processo envolve cálculo de integrais definidas que, após solução, nos dará o valor final da integral de superfície.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o valor da integral de superfície é
.