Obtenha o valor das integrais de superfície:
da função g(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^12 para superfície S dada pelo região do paraboloide 2 z=x^2+y^2 que é interior ao cilindro x^2+y^2=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para encontrar o valor da integral de superfície da função sobre a superfície , que é uma parte do paraboloide dentro do cilindro .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração de superfície e coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O paraboloide é dado por , e o cilindro por . Podemos reescrever a equação do cilindro para facilitar: , que completa o quadrado em fica . Isso representa um círculo de raio 1 centrado em .
Então, a região de integração no plano é o círculo de raio 1 centrado em . Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar essa região.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, temos que integral duplaS g(x, y, z) , dS = integral duplaD g(rcostheta, rsintheta, r^22) , | rr times rtheta | , dr , dtheta , , e . O nosso paraboloide se torna .
A integral de superfície de uma função sobre uma superfície parametrizada por é dada por:
onde é a região no plano e é o vetor produto cruzado dos vetores derivados parciais da parametrização.

Passo 4

Vamos calcular rr = ( costheta, sintheta, r ) e rtheta = ( -rsintheta, rcostheta, 0 ) :
rr times rtheta = ( -rcostheta, -rsintheta, r )
| rr times rtheta | = raiz(-rcostheta)^2 + (-rsintheta)^2 + r^2 = raizr^2cos^2theta + r^2sin^2theta + r^2 = raiz2r^2 = rraiz2
Agora, o produto cruzado é:
A norma desse vetor é:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral duplaS g(x, y, z) , dS = integral duplaD raiz(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 + (r^22)^2 cdot rraiz2 , dr , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raizr^2 + r^44 = r raiz1 + r^24
Então, a integral fica:
integral duplaD r raiz1 + r^24 cdot rraiz2 , dr , dtheta = raiz2 integral duplaD r^2 raiz1 + r^24 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos agora determinar os limites de integração. Como a região theta: 0 a 2pi é o círculo r: 0 a 2sintheta , em coordenadas cilíndricas isso corresponde a raiz2 integral0^2pi integral0^2sintheta r^2 raiz1 + r^24 , dr , dtheta variando de 0 a 2 (aplicando a transformação do cilindro). Então, os limites são:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro. Faça a substituição integral r^2 raiz1 + r^24 , dr , então ou . Porém, isso pode complicar, então uma alternativa é usar integrais por partes ou olhar para uma tabela de integrais para encontrar:
Após realizar a integração, obtemos uma expressão em termos de , que depois avaliaremos nos limites de 0 a .

Passo 8

Após integrar e simplificar, substituímos os limites de e, em seguida, integramos em relação a . O processo envolve cálculo de integrais definidas que, após solução, nos dará o valor final da integral de superfície.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o valor da integral de superfície é .

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