O viscosímetro de cilindros concêntricos indica um torque de 3 lbf.ft, quando o cilindro interno gira a 30 rpm. Qual a viscosidade do fluido, admitindo perfil linear de velocidades do fluido entre os cilindros.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a viscosidade do fluido, sabendo que: \n
  • o viscosímetro de cilindros concêntricos indica um torque de \;T = 3\\ \text{lbf}\cdot\text{ft};\n
  • o cilindro interno gira a \;30\\ \text{rpm};\n
  • admite-se perfil linear de velocidades do fluido entre os cilindros (isto é, a velocidade tangencial do fluido varia linearmente com a posição radial entre os cilindros).\n
    Informações que NÃO foram fornecidas e que são necessárias para um valor numérico: \n
  • o raio do cilindro interno \;R_i;\n
  • o raio do cilindro externo \;R_o;\n
  • o comprimento efetivo (altura) do cilindro imerso no fluido \;L.\n
    Como estas dimensões não foram dadas, não é possível obter um valor numérico único para a viscosidade. Vou, então, derivar a fórmula que relaciona a viscosidade com os dados conhecidos ( T e rotações) e com as dimensões \;R_i, R_o, L. Assim você saberá exatamente o que calcular na prova (ou substituir pelo valor numérico quando tiver as dimensões).

Passo 2

Conceito básico (aula rápida): torque gerado pelo fluido sobre o cilindro interno\n
  • A velocidade tangencial do cilindro interno é \;U_i = \Omega R_i, onde \Omega é a velocidade angular em rad/s. Para converter rotações por minuto para rad/s usamos \;\Omega = 2\pi \dfrac{N}{60}, com N em rpm.\n
  • Se o perfil é linear entre \;r=R_i (velocidade \;U_i) e \;r=R_o (velocidade 0), então a velocidade tangencial do fluido em posição radial r é dada por interpolação linear. A derivada radial dessa velocidade (o gradiente de velocidade) é a taxa de deformação que aparece na lei de Newton para fluidos viscosos: \tau = \mu \,\dfrac{du_\theta}{dr}, onde:\n - \tau é a tensão de cisalhamento (shear stress) em Pa (ou lbf/ft^2 conforme unidades);\n - \mu é a viscosidade dinâmica que queremos;\n - u_\theta(r) é a velocidade tangencial do fluido em função de r.\n- O torque total sobre o cilindro interno vem da tensão de cisalhamento atuando na superfície lateral do cilindro. A área lateral é 2\pi R_i L e o braço de alavanca é R_i. Portanto o torque é T = (\text{tensão no interior}) \times (2\pi R_i L) \times R_i = 2\pi R_i^2 L\,\tauã.

Passo 3

Construindo o perfil de velocidade linear e calculando o gradiente\n
  • A velocidade tangencial do cilindro interno é \;U_i = \Omega R_i e do cilindro externo é 0. Assumindo perfil linear entre R_i e R_o, temos em qualquer r:\n u_\theta(r)=\Omega R_i\cdot\frac{R_o-r}{R_o-R_i}.\n
  • Derivando em relação a r para obter a taxa de deformação (gradiente):\n \frac{du_\theta}{dr}=-\Omega R_i\cdot\frac{1}{R_o-R_i}.\n
Observação: o sinal negativo indica que a velocidade diminui com r; para cálculo da magnitude da tensão usamos o valor absoluto do gradiente. A magnitude do gradiente é \left|\dfrac{du_\theta}{dr}\right|=\dfrac{\Omega R_i}{R_o-R_i}.

Passo 4

Expressando a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro interno\n
  • Pela lei de Newton para um fluido newtoniano:\n \tau=\mu\frac{du_\theta}{dr}.\n
Tomando a magnitude (pois o torque usa a magnitude da tensão), temos:\n |\tau|=\mu\cdot\frac{\Omega R_i}{R_o-R_i}.

Passo 5

Relacionando torque e viscosidade e isolando \mu\n
  • O torque total devido à tensão na superfície do cilindro interno é (vide Passo 2):\n T=2\pi R_i^2 L\,\tau.\n
Substituindo \tau por sua expressão em função de \mu e do gradiente (Passo 4):\n T = 2\pi R_i^2 L \left(\mu\cdot\frac{\Omega R_i}{R_o-R_i}\right).\n
  • Simplificando:\n T = 2\pi \mu L \frac{\Omega R_i^3}{R_o-R_i}.\n
  • Isolando \mu:\n \boxed{\mu = \frac{T\,(R_o-R_i)}{2\pi L\,\Omega\,R_i^3}}.

Passo 6

O que fazer na prova (passo a passo prático) e observações sobre unidades\n
  1. Converta a rotação \;N=30\\ \text{rpm} para \Omega em rad/s usando\n \Omega = 2\pi\frac{N}{60}.\n
  2. Use o torque \;T. Se você prefere trabalhar em unidades SI, converta \;3\\ \text{lbf}\cdot\text{ft} para \text{N}\cdot\text{m} antes de aplicar a fórmula (1 lbf·ft ≈ 1,3558179483314 N·m). Se mantiver unidades imperiais, garanta consistência (por ex., \;R_i,R_o,L em pés para ficar com torque em lbf·ft).\n
  3. Substitua \;T,\;R_i,\;R_o,\;L,\;\Omega na fórmula\n \mu = \frac{T\,(R_o-R_i)}{2\pi L\,\Omega\,R_i^3}\n
e calcule \mu.\n
Observação: a fórmula acima foi obtida assumindo perfil linear entre as superfícies (o enunciado pediu isso). Se você usasse o perfil exato para escoamento de Couette entre cilindros infinitamente longos, obteria outra expressão (envolvendo R_i^2 e R_o^2 no numerador), mas como o enunciado impôs perfil linear, esta é a expressão correta para esse caso.\n
Exemplo ilustrativo (só para praticar): se tivesse \;R_i=0,05\\ \text{m},\\ R_o=0,06\\ \text{m},\\ L=0,1\\ \text{m} e T=3\\ \text{lbf}\cdot\text{ft} convertido para N·m, você seguiria os passos acima para obter um valor numérico de \mu.

Resposta

\mu = \frac{T\,(R_o-R_i)}{2\pi L\,\Omega\,R_i^3}

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