Determine a área da superfície cilíndrica y^2+z^2=9 que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2=9 e alem do plano xy.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies cilíndricas:
  1. O cilindro , que é um cilindro circular vertical com raio 3.
  2. O cilindro , que é um cilindro circular horizontal também com raio 3.
Queremos encontrar a área da superfície do primeiro cilindro ( ) que está dentro do segundo cilindro ( ) e acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração dupla para calcular áreas de superfícies.

Passo 2

Vamos visualizar os cilindros. O cilindro é um cilindro vertical (ao longo do eixo ) com raio 3. O cilindro é horizontal (ao longo do eixo ) também com raio 3.
Para encontrar a área da superfície do cilindro vertical que está dentro do cilindro horizontal e acima do plano , precisamos determinar os limites de integração onde as duas superfícies se intersectam e considerar apenas a parte acima do (onde ).

Passo 3

Primeiro, encontraremos a curva de interseção entre os cilindros x^2 + y^2 = 9 Rightarrow x^2 = 9 - y^2 e .
A partir de , podemos isolar .
Substituindo na equação do segundo cilindro:
Então, na interseção, temos , o que implica que .
Como estamos considerando apenas acima do plano , tomamos .

Passo 4

Para parametrizar a superfície do cilindro y = 3costheta , podemos usar coordenadas polares no plano z = 3sintheta :
x = pm raiz9 - y^2 = pm raiz9 - 9cos^2theta = pm 3sintheta
Como o cilindro é vertical, a coordenada varia livremente, mas está restrita pelo cilindro horizontal , ou seja:
Como estamos acima do plano e dentro do cilindro horizontal, consideramos de a .

Passo 5

A área de uma superfície parametrizada pode ser calculada usando o elemento de área. Para o cilindro dA = raiz(partial ypartial theta)^2 + (partial zpartial theta)^2 , dx , dtheta , com parametrização em partial ypartial theta = -3sintheta e partial zpartial theta = 3costheta , temos:
dA = raiz(-3sintheta)^2 + (3costheta)^2 , dx , dtheta = raiz9sin^2theta + 9cos^2theta , dx , dtheta = 3 , dx , dtheta
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 6

Agora, podemos integrar o elemento de área sobre os limites determinados:
A = integral0^pi/2 integral-3sintheta^3sintheta 3 , dx , dtheta
(Note que integral-3sintheta^3sintheta 3 , dx = 3 times (3sintheta - (-3sintheta)) = 3 times 6sintheta = 18sintheta vai de 0 a A = integral0^pi/2 18sintheta , dtheta = 18 [-costheta]0^pi/2 = 18 (0 - (-1)) = 18 times 1 = 18 devido à simetria e consideramos apenas a parte acima do plano .)
Integrando em primeiro:
Então,

Resposta

A área da superfície cilíndrica é igual a unidades de área.

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