Determine a área da superfície cilíndrica
que se encontra dentro do cilindro
e alem do plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies cilíndricas:
- O cilindro
, que é um cilindro circular vertical com raio 3. - O cilindro
, que é um cilindro circular horizontal também com raio 3.
Queremos encontrar a área da superfície do primeiro cilindro (
) que está dentro do segundo cilindro (
) e acima do plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração dupla para calcular áreas de superfícies.
Passo 2
Vamos visualizar os cilindros. O cilindro
é um cilindro vertical (ao longo do eixo
) com raio 3. O cilindro
é horizontal (ao longo do eixo
) também com raio 3.
Para encontrar a área da superfície do cilindro vertical que está dentro do cilindro horizontal e acima do plano
, precisamos determinar os limites de integração onde as duas superfícies se intersectam e considerar apenas a parte acima do
(onde
).
Passo 3
Primeiro, encontraremos a curva de interseção entre os cilindros
e
.
A partir de
, podemos isolar
.
Substituindo na equação do segundo cilindro:
Então, na interseção, temos
, o que implica que
.
Como estamos considerando apenas acima do plano
, tomamos
.
Passo 4
Para parametrizar a superfície do cilindro
, podemos usar coordenadas polares no plano
:
Como o cilindro é vertical, a coordenada
varia livremente, mas está restrita pelo cilindro horizontal
, ou seja:
Como estamos acima do plano
e dentro do cilindro horizontal, consideramos
de
a
.
Passo 5
A área de uma superfície parametrizada pode ser calculada usando o elemento de área. Para o cilindro
, com parametrização em
e
, temos:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 6
Agora, podemos integrar o elemento de área sobre os limites determinados:
(Note que
vai de 0 a
devido à simetria e consideramos apenas a parte acima do plano
.)
Integrando em
primeiro:
Então,
Resposta
A área da superfície cilíndrica é igual a
unidades de área.