Verifique que cada uma das seguintes funções é inteira:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é inteira. Isso significa que queremos saber se essa função é analítica em todo o plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é holomórfica (ou seja, analítica) em um domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função complexa
pode ser escrita como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se
é analítica, precisamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. As equações são:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Vemos que:
Então, a primeira equação de Cauchy-Riemann está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
E a derivada de
em relação a
:
Então:
A segunda equação de Cauchy-Riemann também está satisfeita.
Passo 6
Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo e as funções
e
têm derivadas parciais contínuas, podemos concluir que a função
é analítica em todo o plano complexo.
Resposta
Sim, a função
é inteira, pois satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo, tornando-a analítica em todo o domínio.