Verifique que cada uma das seguintes funções é inteira:
f(z)=e^-y sen(x)-i e^-y cos x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é inteira. Isso significa que queremos saber se essa função é analítica em todo o plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é holomórfica (ou seja, analítica) em um domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função complexa u(x, y) = e^-y sin(x) pode ser escrita como v(x, y) = -e^-y cos(x) , onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, para verificar se partial upartial x = partial vpartial y é analítica, precisamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. As equações são:
partial upartial y = -partial vpartial x

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de partial upartial x = e^-y cos(x) em relação a partial vpartial y = -(-e^-y cos(x)) = e^-y cos(x) :
partial upartial x = partial vpartial y
Agora, a derivada de em relação a :
Vemos que:
Então, a primeira equação de Cauchy-Riemann está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de partial upartial y = -e^-y sin(x) em relação a partial vpartial x = e^-y sin(x) :
partial upartial y = -partial vpartial x
E a derivada de em relação a :
Então:
A segunda equação de Cauchy-Riemann também está satisfeita.

Passo 6

Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo e as funções e têm derivadas parciais contínuas, podemos concluir que a função é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

Sim, a função é inteira, pois satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo, tornando-a analítica em todo o domínio.

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