Exercício 6: Em cada item, identifique se a equação diferencial é separável, homogênea, exata ou linear e encontre a solução utilizando o método adequado:
Passo 1
O enunciado dá a equação
(3 x + y)
(3 x + y)
dx – x
dy = 0
e pede para identificar se ela é separável, homogênea, exata ou linear e depois encontrar a solução via método adequado. Aqui estamos no conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a teoria de equações lineares (fator integrante) para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar dy/dx e colocar na forma padrão de uma equação linear em y. Começamos dividindo ambos os lados por dx e reorganizando:
(3 x + y) – x (dy/dx) = 0 ⇒ x (dy/dx) = 3 x + y ⇒ dy/dx = 3 + y/x.
Reescrevendo:
dy/dx – (1/x)
y = 3.
Isso mostra que é uma equação linear de primeira ordem no formato dy/dx + P(x) y = Q(x), com P(x) = –1/x e Q(x) = 3.
Passo 3
Agora calculamos o fator integrante μ(x):
Identificamos P(x) = –1/x, então
Multiplicamos a equação original em forma linear por μ(x):
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y/x: d/dx (y/x).
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a x:
Integramos:
Finalmente,