Exercício 6: Em cada item, identifique se a equação diferencial é separável, homogênea, exata ou linear e encontre a solução utilizando o método adequado:
(3 x+y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
(3 x + y)
dx – x
dy = 0
e pede para identificar se ela é separável, homogênea, exata ou linear e depois encontrar a solução via método adequado. Aqui estamos no conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a teoria de equações lineares (fator integrante) para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar dy/dx e colocar na forma padrão de uma equação linear em y. Começamos dividindo ambos os lados por dx e reorganizando:
(3 x + y) – x (dy/dx) = 0 ⇒ x (dy/dx) = 3 x + y ⇒ dy/dx = 3 + y/x.
Reescrevendo:
dy/dx – (1/x)
y = 3.
Isso mostra que é uma equação linear de primeira ordem no formato dy/dx + P(x) y = Q(x), com P(x) = –1/x e Q(x) = 3.

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante μ(x):
Identificamos P(x) = –1/x, então
μ(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -1x,dx = e^-ln|x| = 1x
Multiplicamos a equação original em forma linear por μ(x):
1xdydx - 1x^2y = 3x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y/x: d/dx (y/x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddxl(yxr) = 3x
Integramos:
yx = 3ln|x| + C
Finalmente,
y = xl(3ln|x| + Cr)

Resposta

y = xl(3ln|x| + Cr)

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