Determine a área da superfície dada por:
A helicoide parametrizada por sigma(u, v)=(u cos v, u sen v, v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfícies! O problema nos pede para encontrar a área de uma superfície chamada helicoide, que está parametrizada por uma função envolvendo u e v . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada usando derivadas parciais e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície parametrizada por sigma(u, v) , usamos a fórmula:
Área = integral dupla | sigmau times sigmav | , du , dv Á
Aqui, sigmau e sigmav são as derivadas parciais de sigma em relação a u e v , respectivamente, e times representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de sigma(u, v) = (u cos v, u sin v, v) :
sigmau = ( partialpartial u(u cos v), partialpartial u(u sin v), partialpartial u(v) ) = (cos v, sin v, 0)
sigmav = ( partialpartial v(u cos v), partialpartial v(u sin v), partialpartial v(v) ) = (-u sin v, u cos v, 1)

Passo 4

Agora vamos calcular o produto vetorial sigmau times sigmav :
sigmau times sigmav = i & j & k cos v & sin v & 0 - u sin v & u cos v & 1
Calculando o determinante:
sigmau times sigmav = i( sin v cdot 1 - 0 cdot u cos v ) - j( cos v cdot 1 - 0 cdot (-u sin v) ) + k( cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v) )
Simplificando:
sigmau times sigmav = i sin v - j cos v + k (u cos^2 v + u sin^2 v)
sigmau times sigmav = (sin v, -cos v, u (cos^2 v + sin^2 v))
Como cos^2 v + sin^2 v = 1 :
sigmau times sigmav = (sin v, -cos v, u)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor:
| sigmau times sigmav | = raiz (sin v)^2 + (-cos v)^2 + u^2 = raiz sin^2 v + cos^2 v + u^2 = raiz1 + u^2

Passo 6

Finalmente, montamos a integral dupla para a área:
Área = integral0^pi integral0^1 raiz1 + u^2 , du , dv Á
Como a expressão raiz1 + u^2 não depende de v , podemos separar as integrais:
Área = ( integral0^pi dv ) cdot ( integral0^1 raiz1 + u^2 , du ) = pi cdot [ u2 raiz1 + u^2 + 12 sinh^-1(u) ]0^1 Á
Calculando os limites:
= pi cdot ( 12 raiz2 + 12 sinh^-1(1) - 0 ) = pi cdot ( raiz22 + ln(1 + raiz2)2 )

Resposta

A área da helicoide é pi2 ( raiz2 + ln(1 + raiz2) ) .

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