Determine a área da superfície dada por:
A helicoide parametrizada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfícies! O problema nos pede para encontrar a área de uma superfície chamada helicoide, que está parametrizada por uma função envolvendo e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície parametrizada usando derivadas parciais e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície parametrizada por , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e representa o produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
sigmau times sigmav = i( sin v cdot 1 - 0 cdot u cos v ) - j( cos v cdot 1 - 0 cdot (-u sin v) ) + k( cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v) )
Simplificando:
sigmau times sigmav = i sin v - j cos v + k (u cos^2 v + u sin^2 v)
sigmau times sigmav = (sin v, -cos v, u (cos^2 v + sin^2 v))
Como cos^2 v + sin^2 v = 1 :
sigmau times sigmav = (sin v, -cos v, u)
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor:
| sigmau times sigmav | = raiz (sin v)^2 + (-cos v)^2 + u^2 = raiz sin^2 v + cos^2 v + u^2 = raiz1 + u^2
Passo 6
Finalmente, montamos a integral dupla para a área:
Área = integral0^pi integral0^1 raiz1 + u^2 , du , dv Á
Como a expressão raiz1 + u^2 não depende de v , podemos separar as integrais:
Área = ( integral0^pi dv ) cdot ( integral0^1 raiz1 + u^2 , du ) = pi cdot [ u2 raiz1 + u^2 + 12 sinh^-1(u) ]0^1 Á