Encontre os valores de a e b para que f abaixo seja contínua
f(x)=ccb sen x3 x, & x<0 a(x^2-1), & 0 <= x<2 x+a, & x>2

Passo 1

O enunciado define f assim: para x<0,
f(x)=bsin x3x; para 0<= x<2,
f(x)=a(x^2-1); e para x>2,
f(x)=x+a.
Queremos escolher a e b para que f seja contínua em todos os pontos onde muda de expressão, ou seja, em x=0 e em x=2.

Passo 2

A continuidade em x=0 exige que
limxto0^-f(x)=f(0)=limxto0^+f(x)
O limite pela esquerda é
limxto0^-bsin x3x=b3
e o valor em zero, do ramo quadrático, é
f(0)=a(0^2-1)=-a
Como o limite pela direita também vale -a, basta igualar
b3=-a Longrightarrow b=-3a

Passo 3

Em x=2 usamos continuidade lateral, exigindo
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)
Pela esquerda,
limxto2^-a(x^2-1)=a(4-1)=3a,
e pela direita,
limxto2^+(x+a)=2+a
Logo,
3a=2+a Longrightarrow a=1

Passo 4

Substituindo a=1 em b=-3a, obtemos
b=-3cdot1=-3

Resposta

a=1,;b=-3

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