Mostre que a equação
admite uma raiz
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
admite pelo menos uma raiz real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que afirma que uma função contínua que muda de sinal num intervalo tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
Como
é um polinômio, ela é contínua para todo
. Então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.
Passo 3
Calculamos os valores de
em dois pontos do intervalo
:
Observamos que
e
.
Passo 4
Como
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um
tal que
Resposta
A equação admite pelo menos uma raiz real
no intervalo
.