Mostre que a equação 10 x^4-9 x^3+x-1=0 admite uma raiz

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
10x^4-9x^3+x-1=0
admite pelo menos uma raiz real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que afirma que uma função contínua que muda de sinal num intervalo tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 10x^4-9x^3+x-1
Como f é um polinômio, ela é contínua para todo xinR. Então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo.

Passo 3

Calculamos os valores de f em dois pontos do intervalo [0,1]:
f(0) = 10cdot0^4 - 9cdot0^3 + 0 - 1 = -1,
f(1) = 10cdot1^4 - 9cdot1^3 + 1 - 1 = 10 - 9 + 1 - 1 = 1
Observamos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e f(0) e f(1) têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um cin(0,1) tal que
f(c) = 0

Resposta

A equação admite pelo menos uma raiz real c no intervalo (0,1).

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