Determine a área da superfície determinada pela parte do plano 3 x+6 y+z=9 que está dentro do cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a área da parte do plano dado pela equação 3x + 6y + z = 9 que está dentro do cilindro definido por x^2 + y^2 = 4. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração para calcular áreas de superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a equação do plano de forma a isolar z. A equação do plano é:
3x + 6y + z = 9
Resolvendo para z:
z = 9 - 3x - 6y

Passo 3

Agora, precisamos identificar a região em que vamos calcular a área. Essa região é a parte do plano que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4. Esse cilindro tem raio 2 (já que 4 = 2^2) e está centrado na origem do sistema de coordenadas.

Passo 4

Para calcular a área da superfície do plano dentro desse cilindro, usamos a fórmula para a área de uma superfície z = f(x, y):
Área = integral duplaR raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy Á
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = -3 e partial zpartial y = -6
Substituindo na fórmula:
raiz(-3)^2 + (-6)^2 + 1 = raiz9 + 36 + 1 = raiz46

Passo 5

Agora, a área fica:
Área = raiz46 integral duplaR , dx , dy Á
A integral dupla integral duplaR , dx , dy representa a área da região R, que é o círculo de raio 2. A área de um círculo é dada por pi r^2, então:
Área de R = pi times 2^2 = 4pi Á

Resposta

Portanto, a área da superfície é:
Área = 4,raiz46 , pi Á

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