Determine a área da superfície determinada pela parte do plano
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a área da parte do plano dado pela equação
que está dentro do cilindro definido por
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração para calcular áreas de superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a equação do plano de forma a isolar
. A equação do plano é:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, precisamos identificar a região em que vamos calcular a área. Essa região é a parte do plano que está dentro do cilindro
. Esse cilindro tem raio
(já que
) e está centrado na origem do sistema de coordenadas.
Passo 4
Para calcular a área da superfície do plano dentro desse cilindro, usamos a fórmula para a área de uma superfície
:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, a área fica:
A integral dupla
representa a área da região
, que é o círculo de raio
. A área de um círculo é dada por
, então:
Resposta
Portanto, a área da superfície é: