Na questões a seguir, responda verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
O rotacional de F=(x^2-y) i+(x y-y^2) j é y-1

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado diz que o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial F = (x^2 - y) i + (x y - y^2) j é igual a y - 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e como calculá-lo para um campo vetorial em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. Em duas dimensões, o rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j é dado por:
rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Ou seja, a derivada parcial de Q em relação a x menos a derivada parcial de P em relação a y.

Passo 3

Agora, vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P = x^2 - y
Q = x y - y^2
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculemos partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y - y^2) = y - 0 = y
Porque a derivada de x y em relação a x é y e a derivada de -y^2 em relação a x é 0.

Passo 5

Agora, calculemos partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 - y) = 0 - 1 = -1
A derivada de x^2 em relação a y é 0 e a derivada de -y em relação a y é -1.

Passo 6

Agora, vamos calcular o rotacional usando as derivadas que encontramos:
rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - (-1) = y + 1

Resposta

A afirmação é falsa. O rotacional de F é y + 1, e não y - 1.

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