Determine a direção na qual f(x, y, z)=z e^x y aumenta mais rápido no ponto (0,1,2). Qual é a taxa máxima de aumento?

Passo 1

O enunciado pede para achar a direção em que a função f(x,y,z)=z e^{x y} aumenta mais rápido no ponto (0,1,2) e qual é a taxa máxima desse aumento. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para saber a direção de maior crescimento de uma função de várias variáveis, a gente usa o gradiente. O gradiente de f é o vetor que contém as derivadas parciais:
nabla f(x,y,z)=l(fx,,fy,,fzr) Este vetor aponta para a direção de crescimento mais rápido, e a magnitude dele dá a taxa máxima de aumento.

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=z e^{xy}:
partial fpartial x=z,e^xycdot y,
partial fpartial y=z,e^xycdot x,
partial fpartial z=e^xy Avaliando em (0,1,2) (note que e^{0·1}=1):
fx(0,1,2)=2cdot1cdot1=2, fy(0,1,2)=2cdot1cdot0=0, fz(0,1,2)=1 Portanto
nabla f(0,1,2)=(2,0,1)

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido é dada pelo vetor gradiente normalizado. Primeiro a norma:
l|nabla f(0,1,2)r|=raiz2^2+0^2+1^2=raiz5 Logo o versor na direção do gradiente é
u=1raiz5(2,0,1)

Passo 5

A taxa máxima de aumento é exatamente a norma do gradiente naquele ponto, ou seja
max D uf=l|nabla f(0,1,2)r|=raiz5

Resposta

Direção de maior aumento: 1raiz5(2,0,1). Taxa máxima de aumento: raiz5.

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