Determine a direção na qual aumenta mais rápido no ponto . Qual é a taxa máxima de aumento?
Passo 1
O enunciado pede para achar a direção em que a função f(x,y,z)=z e^{x y} aumenta mais rápido no ponto (0,1,2) e qual é a taxa máxima desse aumento. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para saber a direção de maior crescimento de uma função de várias variáveis, a gente usa o gradiente. O gradiente de f é o vetor que contém as derivadas parciais:
Este vetor aponta para a direção de crescimento mais rápido, e a magnitude dele dá a taxa máxima de aumento.
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=z e^{xy}:
Avaliando em (0,1,2) (note que e^{0·1}=1):
Portanto
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido é dada pelo vetor gradiente normalizado. Primeiro a norma:
Logo o versor na direção do gradiente é
u=1raiz5(2,0,1)
Passo 5
A taxa máxima de aumento é exatamente a norma do gradiente naquele ponto, ou seja
max D uf=l|nabla f(0,1,2)r|=raiz5
Resposta
Direção de maior aumento: 1raiz5(2,0,1). Taxa máxima de aumento: raiz5.