Determine a área da superfície:
Encontre a área da superfície cortada do paraboloide pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da parte do paraboloide que é cortada pelo plano . Isso envolve entender um pouco de cálculo de superfícies e integrais duplas. Vamos precisar saber como parametrizar a superfície e usar a fórmula da área de uma superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a interseção entre o paraboloide e o plano. O paraboloide é dado por . O plano é . Para encontrar a curva de interseção, igualamos as duas equações:
Isso representa um círculo com raio no plano .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a área da superfície do paraboloide que está abaixo do plano , ou seja, entre e . Para isso, usamos a fórmula da área de uma superfície dada por:
Onde é a região de projeção no plano .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A função tem:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Observando que a região é o círculo , fica mais fácil mudar para coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, o elemento de área e . Substituindo:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo uma substituição: seja , então ou . Quando , ; quando , .
A integral fica:
Passo 7
Agora, voltamos à integral em A = integral0^2pi 136 , dtheta = 136 cdot 2pi = 13pi3 :
Resposta
A área da superfície cortada do paraboloide pelo plano é unidades de área.