Determine a área da superfície:
Encontre a área da superfície cortada do paraboloide x^2+y^2-z=0 pelo plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da parte do paraboloide que é cortada pelo plano . Isso envolve entender um pouco de cálculo de superfícies e integrais duplas. Vamos precisar saber como parametrizar a superfície e usar a fórmula da área de uma superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interseção entre o paraboloide e o plano. O paraboloide é dado por x^2 + y^2 = 2 . O plano é . Para encontrar a curva de interseção, igualamos as duas equações:
Isso representa um círculo com raio no plano .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a área da superfície do paraboloide que está abaixo do plano A = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dA , ou seja, entre e . Para isso, usamos a fórmula da área de uma superfície dada por:
Onde é a região de projeção no plano .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = 2y em relação a A = integral duplaD raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2 , dA = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dA e . A função tem:
Substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Observando que a região A = integral0^2pi integral0^raiz2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta é o círculo , fica mais fácil mudar para coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, o elemento de área e . Substituindo:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^raiz2 r raiz1 + 4r^2 , dr :
18 integral1^9 raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 |1^9 = 112 ( 9^3/2 - 1^3/2 ) = 112 (27 - 1) = 2612 = 136
Fazendo uma substituição: seja , então ou . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 7

Agora, voltamos à integral em A = integral0^2pi 136 , dtheta = 136 cdot 2pi = 13pi3 :

Resposta

A área da superfície cortada do paraboloide pelo plano é unidades de área.

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