Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
1 sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7. Nosso objetivo é verificar se essa série atende às condições do Teste das Séries Alternadas e, com isso, concluir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender duas coisas principais: se os termos da série estão diminuindo e se o limite desses termos é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Esse termo é an = 1n^2+7. O teste das séries alternadas tem duas condições que precisamos verificar:
  1. Monotonicidade: Os termos an devem ser decrescentes, ou seja, cada termo deve ser menor ou igual ao anterior.
  2. Limite: O limite de an quando n tende ao infinito deve ser zero.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes. Olhando para an = 1n^2+7, percebemos que conforme n aumenta, o denominador n^2+7 também aumenta. Como a fração tem o denominador aumentando, o valor de an diminui. Então, os termos são realmente decrescentes.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de an quando n tende ao infinito.
limn to infty 1n^2+7
Quando n vai para o infinito, n^2 domina o termo 7, então:
limn to infty 1n^2 = 0
Portanto, o limite de an é zero.

Passo 5

Como nossa série sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7 atende às duas condições do Teste das Séries Alternadas (os termos são decrescentes e o limite é zero), podemos concluir que essa série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7 converge pelo Teste das Séries Alternadas, já que os termos são decrescentes e tendem a zero.

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