Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos a série alternada
. Nosso objetivo é verificar se essa série atende às condições do Teste das Séries Alternadas e, com isso, concluir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender duas coisas principais: se os termos da série estão diminuindo e se o limite desses termos é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Esse termo é
. O teste das séries alternadas tem duas condições que precisamos verificar:
- Monotonicidade: Os termos
devem ser decrescentes, ou seja, cada termo deve ser menor ou igual ao anterior. - Limite: O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes. Olhando para
, percebemos que conforme
aumenta, o denominador
também aumenta. Como a fração tem o denominador aumentando, o valor de
diminui. Então, os termos são realmente decrescentes.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Quando
vai para o infinito,
domina o termo
, então:
Portanto, o limite de
é zero.
Passo 5
Como nossa série
atende às duas condições do Teste das Séries Alternadas (os termos são decrescentes e o limite é zero), podemos concluir que essa série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste das Séries Alternadas, já que os termos são decrescentes e tendem a zero.