Determine os pontos extremos de: w=z^2-2 x y tais que 2 x^3+2 y^3+z^3=4.

Passo 1

Vamos recapitular: queremos achar extremos de w = z^2 - 2xy sujeitos à restrição 2x^3 + 2y^3 + z^3 = 4. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange; vamos precisar montar ∇f = λ ∇g, onde f(x,y,z)=z^2-2xy e g(x,y,z)=2x^3+2y^3+z^3-4.

Passo 2

Escrevemos as derivadas parciais para montar as equações de Lagrange:
∇f = l(-2y,,-2x,,2zr),
∇g = l(6x^2,,6y^2,,3z^2r)
E exigimos
-2y = λ·6x^2,
-2x = λ·6y^2,
2z = λ·3z^2

Passo 3

Primeiro caso: xneq0,yneq0,zneq0. Das duas primeiras igualdades temos
-y3x^2 = -x3y^2 implies y^3 = x^3 implies y = x
Da igualdade com z vem
-y3x^2 = 23z implies -xx^2 = 2z implies z = -2x
Substituindo na restrição:
2x^3+2x^3+(-2x)^3 = 4 implies 4x^3 -8x^3 =4 implies x^3=-1 implies x=-1
Então y=-1,z=2.

Passo 4

Agora o caso z=0. As duas primeiras equações dão novamente y=x. A restrição vira 4x^3=4, ou seja x=1,y=1,z=0.

Passo 5

Por fim, se x=0 (ou y=0), a equação -2y=6λx^2 leva a y=0. A restrição fica z^3=4, logo z=raiz[3]4. Assim há o ponto (0,0,raiz[3]4).

Passo 6

Calculamos os valores de w em cada candidato:
  • Em (-1,-1,2): w=2^2-2(-1)(-1)=2.
  • Em (1,1,0): w=0^2-2·1·1=-2.
  • Em (0,0,raiz[3]4): w=(raiz[3]4)^2=4^2/3.
    Comparando, o mínimo global é -2 em (1,1,0) e o máximo global é 4^2/3 em (0,0,raiz[3]4).

Resposta

Pontos extremos sujeitos à restrição:
Máximo global em (0,0, raiz[3]4) com w=4^2/3.
Mínimo global em (1,1,0) com w=-2.

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