Determine os pontos extremos de:
tais que
.
Passo 1
Vamos recapitular: queremos achar extremos de
sujeitos à restrição
. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange; vamos precisar montar
, onde
e
.
Passo 2
Escrevemos as derivadas parciais para montar as equações de Lagrange:
E exigimos
Passo 3
Primeiro caso:
. Das duas primeiras igualdades temos
Da igualdade com
vem
Substituindo na restrição:
Então
.
Passo 4
Agora o caso
. As duas primeiras equações dão novamente
. A restrição vira
, ou seja
.
Passo 5
Por fim, se
(ou
), a equação
leva a
. A restrição fica
, logo
. Assim há o ponto
.
Passo 6
Calculamos os valores de
em cada candidato:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
Comparando, o mínimo global éem e o máximo global é em .
Resposta
Pontos extremos sujeitos à restrição:
Máximo global em (0,0, ) com
.
Mínimo global em (1,1,0) com .
Máximo global em (0,0,
Mínimo global em (1,1,0) com