\mathbf{F}(x, y, z)=-2 y z \mathbf{i}+y \mathbf{j}+3 x \mathbf{k}, S é a parte do paraboloide z=5-x^{2}-y^{2} que está acima do plano z=1, com orientação ascendente
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z) = -2yz\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + 3x\,\mathbf{k} pela parte do paraboloide
z = 5 - x^2 - y^2,\quad z\ge1,
orientada para cima. O conteúdo é cálculo de fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência.
Passo 2
Como a superfície S é aberta, fechamos a região V sob o paraboloide e acima do plano z=1 adicionando a parte do plano z=1. Assim temos a superfície fechada \partial V = S \cup S_{\text{plano}}, onde em S o normal aponta para cima (para fora de V) e em S_{\text{plano}} o normal aponta para baixo.