Determine a área da superfície da:
(a) esfera de raio a.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície de uma esfera de raio a. O conteúdo aqui é integração de superfície (área) usando coordenadas esféricas e a fórmula do elemento de área dS para uma superfície parametrizada.

Passo 2

Para parametrizar a esfera de raio a usamos coordenadas esféricas:
r(theta,varphi)=l(asinthetacosvarphi,,asinthetasinvarphi,,acosthetar),
com 0<=theta<=pi (colatitude) e 0<=varphi<2pi (longitude). O elemento de área é dado por
dS=l|rthetatimesrvarphir|,dtheta,dvarphi = a^2sintheta,dtheta,dvarphi

Passo 3

Agora só falta integrar esse elemento de área sobre toda a esfera:
A=integralvarphi=0^2piintegraltheta=0^pia^2sintheta,dtheta,dvarphi
Fazendo a integral em theta:
integral0^pisintheta,dtheta=[-costheta]0^pi=2,
e em seguida em varphi:
integral0^2pidvarphi=2pi
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A=a^2times2times2pi=4pi a^2

Resposta

4pi a^2

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