Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área total do cubo.

Passo 1

Vou escrever de forma bem clara o que o enunciado pede e quais informações temos:
  • O enunciado pede: determinar a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área total do cubo. Ou seja, dar a área da esfera em termos de A.
  • Informação dada: A é a área total do cubo (soma das áreas das seis faces).
    Pergunta final a responder: qual é a expressão da área da superfície da esfera circunscrita ao cubo em função de A?

Passo 2

Definimos variáveis e relacionamentos básicos que vêm do cubo. Seja s a medida da aresta do cubo (ou seja, o comprimento de cada lado). A área de uma face do cubo é \,s^{2}\,. Como o cubo tem seis faces, a área total do cubo A é
A = 6\,s^{2}.
Explicando: cada face é um quadrado de área \,s^{2}\, e há 6 faces, então multiplicamos por 6.

Passo 3

Isolamos s^{2} (porque mais adiante precisaremos de s^{2} ao relacionar com a esfera):
s^{2} = \frac{A}{6}.
Se for útil, a aresta s em si é
s = \sqrt{\frac{A}{6}}.
Aqui \,s^{2}\, e \,s\, foram expressos em termos de A.

Passo 4

Agora relacionamos o cubo com a esfera circunscrita. A esfera circunscrita toca o cubo nos oito vértices; o centro da esfera coincide com o centro do cubo. O raio R da esfera é metade da diagonal espacial do cubo. A diagonal espacial do cubo (a reta que vai de um vértice ao vértice oposto) tem comprimento dado por aplicar o teorema de Pitágoras em três dimensões:
\text{diagonal} = d = s\sqrt{3}.
Explicando: a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimentos s e \sqrt{s^{2}+s^{2}}=s\sqrt{2}; ou diretamente \sqrt{s^{2}+s^{2}+s^{2}}=s\sqrt{3}.

Passo 5

Como o raio R é metade dessa diagonal, temos
R = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{3}}{2}.
Explicando: o centro do cubo está no meio da diagonal espacial, portanto a distância do centro até um vértice (que é o raio da esfera circunscrita) é metade da diagonal.

Passo 6

Fórmula da área da superfície de uma esfera: se R é o raio, a área S da superfície esférica é
S = 4\pi R^{2},
onde \pi é a constante 3{,}1415… e R é o raio. Agora substituímos R por \dfrac{s\sqrt{3}}{2}. Primeiro calculamos R^{2}:
R^{2} = \left(\frac{s\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \frac{3s^{2}}{4}.
Então
S = 4\pi \cdot \frac{3s^{2}}{4} = 3\pi s^{2}.
Expliquei cada passo: elevar \dfrac{s\sqrt{3}}{2} ao quadrado dá \dfrac{3s^{2}}{4}; multiplicar por 4\pi cancela o denominador 4.

Passo 7

Voltamos a expressar S em função de A. Lembrando do Passo 3, \,s^{2}=\dfrac{A}{6}\,. Substituindo em \,S=3\pi s^{2}\, obtemos:
S = 3\pi \cdot \frac{A}{6} = \frac{3}{6}\,\pi A = \frac{1}{2}\,\pi A.
Simplificando \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}, chegamos à expressão final.

Passo 8

Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança: se s=1 então A=6. A fórmula dá S=\dfrac{\pi A}{2}=\dfrac{\pi\cdot6}{2}=3\pi. Pelo outro caminho, o raio é R=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e S=4\pi R^{2}=4\pi\cdot\dfrac{3}{4}=3\pi. Confere. Ótimo!

Resposta

S=\frac{\pi A}{2}

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