Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área total do cubo.
Passo 1
Vou escrever de forma bem clara o que o enunciado pede e quais informações temos:
- O enunciado pede: determinar a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida
da área total do cubo. Ou seja, dar a área da esfera em termos de . - Informação dada:
é a área total do cubo (soma das áreas das seis faces).
Pergunta final a responder: qual é a expressão da área da superfície da esfera circunscrita ao cubo em função de?
Passo 2
Definimos variáveis e relacionamentos básicos que vêm do cubo. Seja
a medida da aresta do cubo (ou seja, o comprimento de cada lado). A área de uma face do cubo é
. Como o cubo tem seis faces, a área total do cubo
é
Explicando: cada face é um quadrado de área
e há 6 faces, então multiplicamos por 6.
Passo 3
Isolamos
(porque mais adiante precisaremos de
ao relacionar com a esfera):
Se for útil, a aresta
em si é
Aqui
e
foram expressos em termos de
.
Passo 4
Agora relacionamos o cubo com a esfera circunscrita. A esfera circunscrita toca o cubo nos oito vértices; o centro da esfera coincide com o centro do cubo. O raio
da esfera é metade da diagonal espacial do cubo. A diagonal espacial do cubo (a reta que vai de um vértice ao vértice oposto) tem comprimento dado por aplicar o teorema de Pitágoras em três dimensões:
Explicando: a diagonal espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimentos
e
; ou diretamente
.
Passo 5
Como o raio
é metade dessa diagonal, temos
Explicando: o centro do cubo está no meio da diagonal espacial, portanto a distância do centro até um vértice (que é o raio da esfera circunscrita) é metade da diagonal.
Passo 6
Fórmula da área da superfície de uma esfera: se
é o raio, a área
da superfície esférica é
onde
é a constante 3{,}1415… e
é o raio. Agora substituímos
por
. Primeiro calculamos
:
Então
Expliquei cada passo: elevar
ao quadrado dá
; multiplicar por
cancela o denominador 4.
Passo 7
Voltamos a expressar
em função de
. Lembrando do Passo 3,
. Substituindo em
obtemos:
Simplificando
, chegamos à expressão final.
Passo 8
Cheque rápido com um exemplo numérico para ganhar confiança: se
então
. A fórmula dá
. Pelo outro caminho, o raio é
e
. Confere. Ótimo!