Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta a e pede a razão entre o volume da esfera inscrita no cubo e o volume da esfera circunscrita ao cubo.
Informações relevantes:
  • Aresta do cubo: a.
  • Esfera inscrita: toca as seis faces do cubo internamente.
  • Esfera circunscrita: passa por todos os vértices do cubo externamente.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{V_{\text{inscrita}}}{V_{\text{circunscrita}}}.

Passo 2

Entender o raio da esfera inscrita.
Explicação conceitual (passo a passo e bem mastigado):
  • A esfera inscrita fica centralizada no cubo: o centro da esfera coincide com o centro do cubo.
  • O raio da esfera inscrita é a distância do centro do cubo até uma das faces. Como o centro está no meio da aresta em cada direção, essa distância é metade da aresta.
    Portanto o raio da esfera inscrita é
r_{\text{in}}=\frac{a}{2}.
Aqui r_{\text{in}} é o raio da esfera inscrita e a é a aresta do cubo.

Passo 3

Calcular o volume da esfera inscrita usando a fórmula do volume de uma esfera.
Fórmula e explicação:
  • A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde V é o volume e r é o raio. Essa é uma fórmula padrão que relaciona o raio ao volume.
Aplicando para a esfera inscrita, substituindo r=r_{\text{in}}=\dfrac{a}{2}:
V_{\text{in}}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{3}.
Agora simplificamos passo a passo:
\left(\frac{a}{2}\right)^{3}=\frac{a^{3}}{2^{3}}=\frac{a^{3}}{8},
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V_{\text{in}}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{a^{3}}{8}=\frac{4}{24}\pi a^{3}=\frac{1}{6}\pi a^{3}.

Passo 4

Determinar o raio da esfera circunscrita.
Explicação conceitual:
  • A esfera circunscrita ao cubo tem centro no centro do cubo e passa por um vértice.
  • O raio da esfera circunscrita é, portanto, a metade da diagonal espacial do cubo (distância do centro até um vértice).
Cálculo da diagonal espacial:
  • A diagonal de uma face do cubo vale a\sqrt{2} (Pythagoras em duas dimensões). Em seguida, usando Pythagoras novamente para a dimensão vertical, a diagonal espacial d satisfaz
d=\sqrt{(a\sqrt{2})^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3a^{2}}=a\sqrt{3}.
Assim o raio da esfera circunscrita é metade disso:
r_{\text{out}}=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Aqui r_{\text{out}} é o raio da esfera circunscrita.

Passo 5

Calcular o volume da esfera circunscrita usando a fórmula de volume.
Substituindo r=r_{\text{out}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} na fórmula V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}:
V_{\text{out}}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{3}.
Simplificando passo a passo:
\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{a^{3}(\sqrt{3})^{3}}{2^{3}}=\frac{a^{3}\cdot 3\sqrt{3}}{8}.
Portanto
V_{\text{out}}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}\,a^{3}}{8}.
Agora cancelar e simplificar:
V_{\text{out}}=\frac{4\cdot 3\sqrt{3}}{3\cdot 8}\pi a^{3}=\frac{4\cancel{\cdot 3}\sqrt{3}}{\cancel{3}\cdot 8}\pi a^{3}=\frac{4\sqrt{3}}{8}\pi a^{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^{3}.

Passo 6

Calcular a razão pedida \dfrac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}} e simplificar.
Começamos com os resultados obtidos:
V_{\text{in}}=\frac{1}{6}\pi a^{3},\qquad V_{\text{out}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^{3}.
A razão é
\frac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}=\frac{\dfrac{1}{6}\pi a^{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi a^{3}}.
Cancelamos o que aparece em comum ( \pi a^{3}):
\frac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
Para apresentar em forma racionalizada (retirando raiz do denominador), multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{1}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{9}

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