Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta a.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta
e pede a razão entre o volume da esfera inscrita no cubo e o volume da esfera circunscrita ao cubo.
Informações relevantes:
- Aresta do cubo:
. - Esfera inscrita: toca as seis faces do cubo internamente.
- Esfera circunscrita: passa por todos os vértices do cubo externamente.
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Entender o raio da esfera inscrita.
Explicação conceitual (passo a passo e bem mastigado):
- A esfera inscrita fica centralizada no cubo: o centro da esfera coincide com o centro do cubo.
- O raio da esfera inscrita é a distância do centro do cubo até uma das faces. Como o centro está no meio da aresta em cada direção, essa distância é metade da aresta.
Portanto o raio da esfera inscrita é
Aqui
é o raio da esfera inscrita e
é a aresta do cubo.
Passo 3
Calcular o volume da esfera inscrita usando a fórmula do volume de uma esfera.
Fórmula e explicação:
- A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
onde
é o volume e
é o raio. Essa é uma fórmula padrão que relaciona o raio ao volume.
Aplicando para a esfera inscrita, substituindo
:
Agora simplificamos passo a passo:
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Passo 4
Determinar o raio da esfera circunscrita.
Explicação conceitual:
- A esfera circunscrita ao cubo tem centro no centro do cubo e passa por um vértice.
- O raio da esfera circunscrita é, portanto, a metade da diagonal espacial do cubo (distância do centro até um vértice).
Cálculo da diagonal espacial:
- A diagonal de uma face do cubo vale
(Pythagoras em duas dimensões). Em seguida, usando Pythagoras novamente para a dimensão vertical, a diagonal espacial satisfaz
Assim o raio da esfera circunscrita é metade disso:
Aqui
é o raio da esfera circunscrita.
Passo 5
Calcular o volume da esfera circunscrita usando a fórmula de volume.
Substituindo
na fórmula
:
Simplificando passo a passo:
Portanto
Agora cancelar e simplificar:
Passo 6
Calcular a razão pedida
e simplificar.
Começamos com os resultados obtidos:
A razão é
Cancelamos o que aparece em comum (
):
Para apresentar em forma racionalizada (retirando raiz do denominador), multiplicamos numerador e denominador por
: