Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
e pede o volume de um cubo inscrito nessa esfera. Informações relevantes:
- O raio da esfera é
. - “Cubo inscrito” significa que todos os vértices do cubo estão sobre a superfície da esfera (ou seja, a esfera passa por todos os vértices do cubo).
- O que se pede: o volume do cubo em função de
.
Passo 2
Definir uma variável para o lado do cubo. Seja
o comprimento da aresta (lado) do cubo. Vou explicar por que a aresta
se relaciona com
.
Num cubo centrado na mesma posição que a esfera, o vértice mais distante do centro do cubo está sobre a esfera. A distância do centro do cubo a um vértice é a metade da diagonal espacial do cubo. Essa distância deve ser igual ao raio da esfera, porque o vértice fica sobre a superfície.
Num cubo centrado na mesma posição que a esfera, o vértice mais distante do centro do cubo está sobre a esfera. A distância do centro do cubo a um vértice é a metade da diagonal espacial do cubo. Essa distância deve ser igual ao raio
Passo 3
Calcular a diagonal espacial do cubo usando o Teorema de Pitágoras em 3D. Primeiro, a diagonal da face (no plano) com lados
tem comprimento obtido por Pitágoras em 2D:
Agora aplicar Pitágoras novamente, entre essa diagonal de face
e a aresta perpendicular
, para obter a diagonal espacial
:
Portanto, a diagonal espacial do cubo vale
.
Passo 4
Relacionar a diagonal com o raio da esfera. Como a diagonal espacial vai de um vértice ao vértice oposto passando pelo centro, a metade dessa diagonal é a distância do centro a um vértice, que deve ser igual a
. Ou seja,
Substituindo
resulta
Passo 5
Isolar
na equação anterior. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
dá
Esse é o comprimento da aresta do cubo inscrito em função de
.
Passo 6
Calcular o volume do cubo. O volume
de um cubo de aresta
é
Substituindo
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 7
Breve checagem numérica para ganhar confiança (opcional): se
, então
o que faz sentido como volume menor que o de um cubo de aresta
(volume
), já que a esfera de raio
tem diâmetro
e o cubo inscrito tem aresta menor que
.