Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio r e pede o volume de um cubo inscrito nessa esfera. Informações relevantes:
  • O raio da esfera é r.
  • “Cubo inscrito” significa que todos os vértices do cubo estão sobre a superfície da esfera (ou seja, a esfera passa por todos os vértices do cubo).
  • O que se pede: o volume do cubo em função de r.

Passo 2

Definir uma variável para o lado do cubo. Seja a o comprimento da aresta (lado) do cubo. Vou explicar por que a aresta a se relaciona com r.
Num cubo centrado na mesma posição que a esfera, o vértice mais distante do centro do cubo está sobre a esfera. A distância do centro do cubo a um vértice é a metade da diagonal espacial do cubo. Essa distância deve ser igual ao raio r da esfera, porque o vértice fica sobre a superfície.

Passo 3

Calcular a diagonal espacial do cubo usando o Teorema de Pitágoras em 3D. Primeiro, a diagonal da face (no plano) com lados a tem comprimento obtido por Pitágoras em 2D:
d_{\text{face}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}.
Agora aplicar Pitágoras novamente, entre essa diagonal de face a\sqrt{2} e a aresta perpendicular a, para obter a diagonal espacial d:
d=\sqrt{(a\sqrt{2})^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3a^{2}}=a\sqrt{3}.
Portanto, a diagonal espacial do cubo vale a\sqrt{3}.

Passo 4

Relacionar a diagonal com o raio da esfera. Como a diagonal espacial vai de um vértice ao vértice oposto passando pelo centro, a metade dessa diagonal é a distância do centro a um vértice, que deve ser igual a r. Ou seja,
\frac{d}{2}=r.
Substituindo d=a\sqrt{3} resulta
\frac{a\sqrt{3}}{2}=r.

Passo 5

Isolar a na equação anterior. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por \sqrt{3}
a=\frac{2r}{\sqrt{3}}.
Esse é o comprimento da aresta do cubo inscrito em função de r.

Passo 6

Calcular o volume do cubo. O volume V de um cubo de aresta a é
V=a^{3}.
Substituindo a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}:
V=\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{8r^{3}}{(\sqrt{3})^{3}}=\frac{8r^{3}}{3\sqrt{3}}.
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}:
V=\frac{8r^{3}}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}\,r^{3}}{9}.

Passo 7

Breve checagem numérica para ganhar confiança (opcional): se r=1, então
V=\frac{8\sqrt{3}}{9}\approx\frac{8\cdot1{,}732}{9}\approx1{,}5396,
o que faz sentido como volume menor que o de um cubo de aresta 2 (volume 8), já que a esfera de raio 1 tem diâmetro 2 e o cubo inscrito tem aresta menor que 2.

Resposta

\displaystyle V=\frac{8\sqrt{3}}{9}\,r^{3}

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