2- Calcule o volume do sólido
y=\sqrt{4-x^{2}}, \text { no intervalo }[-2 ; 2]

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\sqrt{4-x^{2}} definida no intervalo \displaystyle [-2;2] e pede para calcular o volume do sólido. Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle
\displaystyle 1) A função é não negativa nesse intervalo (sempre \ge0).
\displaystyle 2) A equação \displaystyle y=\sqrt{4-x^{2}} corresponde à metade superior do círculo de raio 2, pois \displaystyle x^{2}+y^{2}=4.
\displaystyle 3) O intervalo de x é \displaystyle -2 a \displaystyle 2.
Pergunta concreta: calcular o volume do sólido associado a essa curva no intervalo dado (interpreto isso como o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo x sobre [-2,2]).

Passo 2

Qual o método usado e por que? Vou usar o método dos discos (também chamado método das fatias cilíndricas perpendiculares ao eixo de rotação). Explico didaticamente esse método: imagine fatiar o sólido gerado por rotação em fatias muito finas perpendiculares ao eixo x. Cada fatia, em x fixo, tem espessura \displaystyle dx (muito pequena) e é aproximadamente um cilindro com raio igual à altura da curva em x, que é y. A área da base desse cilindro é a área de um círculo de raio y, ou seja:
\text{área da base}=\pi y^{2}.á
O volume aproximado da fatia é:
dV \approx \pi y^{2}\,dx.
Para obter o volume total, somamos (integrando) essas fatias ao longo de todo o intervalo \displaystyle a\le x\le b. Assim a fórmula do método dos discos é
V=\pi\int_{a}^{b} \bigl(\text{raio}(x)\bigr)^{2}\,dx.
Aqui \text{raio}(x)=y(x). Variáveis explicadas:
\displaystyle - x: coordenada ao longo do eixo onde cortamos o sólido;
\displaystyle - dx: espessura infinitesimal da fatia;
\displaystyle - y(x): raio do disco em cada x;
\displaystyle - V: volume total do sólido.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o raio em cada x é
\displaystyle y(x)=\sqrt{4-x^{2}}.
Logo o quadrado do raio é
\displaystyle y(x)^{2}=\bigl(\sqrt{4-x^{2}}\bigr)^{2}=4-x^{2}.
Expliquei a simplificação: elevar a raiz quadrada ao quadrado cancela a raiz, dando a expressão polinomial 4-x^{2}.

Passo 4

Agora escrevo a integral para o volume usando os limites \displaystyle a=-2 e \displaystyle b=2:
\displaystyle V=\pi\int_{-2}^{2} \bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx.
Observe que tudo aqui está em \displaystyle x, a integral é uma integral definida padrão.

Passo 5

Calculo a integral passo a passo. Primeiro encontro uma antiderivada de \displaystyle 4-x^{2}:
\displaystyle \int(4-x^{2})\,dx=4x-\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração (que não precisamos para integral definida). Agora avalio entre \displaystyle -2 e \displaystyle 2:
\displaystyle V=\pi\left[\;4x-\frac{x^{3}}{3}\;\right]_{-2}^{2}.
Faço as substituições com calma:
\displaystyle \text{em }x=2:\quad 4(2)-\frac{2^{3}}{3}=8-\frac{8}{3}= \frac{24-8}{3}=\frac{16}{3},
\displaystyle \text{em }x=-2:\quad 4(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3}=-8-\frac{-8}{3}=-8+\frac{8}{3}= \frac{-24+8}{3}=\frac{-16}{3}.
Agora a diferença:
\displaystyle \left( \frac{16}{3}\right)-\left(\frac{-16}{3}\right)=\frac{32}{3}.
Multiplicando pelo \pi que estava fora da integral:
\displaystyle V=\pi\cdot\frac{32}{3}=\frac{32\pi}{3}.

Passo 6

Interpretação final / checagem rápida: geometricamente, a curva é a semicircunferência de raio 2; ao girar a semicircunferência em torno do eixo x obtém-se uma esfera de raio 2. O volume da esfera é \displaystyle \frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi(2^{3})=\frac{32\pi}{3}, que confere com o resultado obtido pela integral — ótima checagem.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{3}

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