2- Calcule o volume do sólido
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede para calcular o volume do sólido. Informações relevantes fornecidas:
1) A função é não negativa nesse intervalo (sempre
).
2) A equação
corresponde à metade superior do círculo de raio
, pois
.
3) O intervalo de
é
a
.
Pergunta concreta: calcular o volume do sólido associado a essa curva no intervalo dado (interpreto isso como o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo sobre
).
Pergunta concreta: calcular o volume do sólido associado a essa curva no intervalo dado (interpreto isso como o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo
Passo 2
Qual o método usado e por que? Vou usar o método dos discos (também chamado método das fatias cilíndricas perpendiculares ao eixo de rotação). Explico didaticamente esse método: imagine fatiar o sólido gerado por rotação em fatias muito finas perpendiculares ao eixo
. Cada fatia, em
fixo, tem espessura
(muito pequena) e é aproximadamente um cilindro com raio igual à altura da curva em
, que é
. A área da base desse cilindro é a área de um círculo de raio
, ou seja:
O volume aproximado da fatia é:
Para obter o volume total, somamos (integrando) essas fatias ao longo de todo o intervalo
. Assim a fórmula do método dos discos é
Aqui
. Variáveis explicadas:
-
: coordenada ao longo do eixo onde cortamos o sólido;
-
: espessura infinitesimal da fatia;
-
: raio do disco em cada
;
-
: volume total do sólido.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: o raio em cada
é
Logo o quadrado do raio é
Expliquei a simplificação: elevar a raiz quadrada ao quadrado cancela a raiz, dando a expressão polinomial
.
Passo 4
Agora escrevo a integral para o volume usando os limites
e
:
Observe que tudo aqui está em
, a integral é uma integral definida padrão.
Passo 5
Calculo a integral passo a passo. Primeiro encontro uma antiderivada de
:
onde
é a constante de integração (que não precisamos para integral definida). Agora avalio entre
e
:
Faço as substituições com calma:
Agora a diferença:
Multiplicando pelo
que estava fora da integral:
Passo 6
Interpretação final / checagem rápida: geometricamente, a curva é a semicircunferência de raio
; ao girar a semicircunferência em torno do eixo
obtém-se uma esfera de raio
. O volume da esfera é
, que confere com o resultado obtido pela integral — ótima checagem.