3^a Questão: Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) F(x)=integral0^x(t^2+1)^1 / 3 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função definida por integral F(x)=integral0^x(t^2+1)^1/3,dt. O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), que relaciona derivada de integral com a própria função integranda. Vamos usar esse teorema para resolver.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se F(x)=integrala^xf(t),dt com a constante, então a derivada de F é simplesmente a integranda avaliada em x. Ou seja, ddxl(integrala^xf(t),dtr)=f(x)

Passo 3

No nosso caso, a integranda é f(t)=(t^2+1)^1/3. Aplicando diretamente o teorema, obtemos: F'(x)=(x^2+1)^1/3

Resposta

(x{2}+1){1/3}

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