Determine a área da superfície da parte do paraboloide hiperbólico z=-x^2+y^2 que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície do paraboloide hiperbólico z = -x² + y² que fica no anel definido pelos cilindros x² + y² = 1 e x² + y² = 4. O conteúdo principal é cálculo de área de superfície de uma função z = f(x,y), onde vamos precisar das derivadas parciais e de um integral duplo.

Passo 2

Para uma superfície definida por z = f(x,y), a área S sobre uma região R no plano xy é dada por
S = ∬R raiz1 + fx(x,y)^2 + fy(x,y)^2,dA
Aqui f(x,y) = -x² + y², então temos que calcular f_x e f_y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
fx = ∂∂x(-x^2 + y^2) = -2x, fy = ∂∂y(-x^2 + y^2) = 2y
Logo o integrando fica
raiz1 + (-2x)^2 + (2y)^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2

Passo 4

Como a região R é entre os círculos de raio 1 e 2, vale usar coordenadas polares x = r cosθ, y = r sinθ, com 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. O elemento de área é dA = r dr dθ, e o integrando depende só de r:
raiz1 + 4r^2
Então a área é
S = ∫θ=0^2π ∫r=1^2 raiz1 + 4r^2,r,dr,dθ

Passo 5

Fatorizando a parte angular, obtemos:
S = 2π integral1^2 rraiz1 + 4r^2,dr
Para resolver essa integral, usamos a substituição u = 1 + 4r² ⇒ du = 8r dr ⇒ r dr = du/8. Quando r=1, u=5; quando r=2, u=17. Assim:
S = 2π integralu=5^17 raizu,du8 = 2π8 integral5^17 u^1/2 du = π4 [ 23u^3/2 ]5^17

Passo 6

Calculando o valor numérico da primitiva:
π4 cdot 23 l(17^3/2 - 5^3/2r) = π6 l(17raiz17 - 5raiz5r)
Esse é o valor exato da área procurada.

Resposta

pi6l(17raiz17 - 5raiz5r)

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