Determine a área da superfície da parte do paraboloide hiperbólico
que está entre os cilindros
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície do paraboloide hiperbólico z = -x² + y² que fica no anel definido pelos cilindros x² + y² = 1 e x² + y² = 4. O conteúdo principal é cálculo de área de superfície de uma função z = f(x,y), onde vamos precisar das derivadas parciais e de um integral duplo.
Passo 2
Para uma superfície definida por z = f(x,y), a área S sobre uma região R no plano xy é dada por
Aqui f(x,y) = -x² + y², então temos que calcular f_x e f_y.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 4
Como a região R é entre os círculos de raio 1 e 2, vale usar coordenadas polares x = r cosθ, y = r sinθ, com 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. O elemento de área é dA = r dr dθ, e o integrando depende só de r:
Então a área é
Passo 5
Fatorizando a parte angular, obtemos:
Para resolver essa integral, usamos a substituição u = 1 + 4r² ⇒ du = 8r dr ⇒ r dr = du/8. Quando r=1, u=5; quando r=2, u=17. Assim:
Passo 6
Calculando o valor numérico da primitiva:
Esse é o valor exato da área procurada.