Determine a área da superfície da:
(b) parte do parabolóide hiperbólico z=x^2-y^2 que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Resp.: pi6(17 raiz17-5 raiz5).

Passo 1

Temos o parabolóide hiperbólico definido por z = x^2 - y^2 e queremos a área da parte dessa superfície que está entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. O conteúdo é área de superfície de uma função z = f(x,y), e vamos precisar da fórmula
A = integral duplaD raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2,dA,

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2-y^2:
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=-2y

Passo 3

Logo o integrando fica
raiz1+(2x)^2+(-2y)^2 = raiz1+4x^2+4y^2

Passo 4

Para simplificar a integral, passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta. A região D vira 1<= r<=2,;0<=theta<=2pi. Assim
A = integral0^2piintegral1^2 raiz1+4r^2,r,dr,dtheta

Passo 5

Separamos a parte angular e a radial:
A = 2pi integral1^2 rraiz1+4r^2,dr

Passo 6

Para calcular a integral em r, usamos a substituição u=1+4r^2, du=8r,dr, logo r,dr=du/8. Quando r=1, u=5 e quando r=2, u=17. Substituindo:
A = 2pi cdot 18 integral5^17 u^1/2,du = pi4 cdot 23 l[u^3/2r]5^17 = pi6l(17raiz17-5raiz5r)

Resposta

pi6(17raiz17-5raiz5)

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