Determine, primeiro utilizando coordenadas cilíndricas e depois coordenadas esféricas, o volume da região interior à esfera de centro na origem e raio 2 e ao cilindro
. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região satisfazendo simultaneamente à esfera de equação
(centro na origem e raio 2) e ao cilindro
. Vamos resolver primeiro em coordenadas cilíndricas e depois em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
temos
,
, e o elemento de volume é
. A região é dada por
Logo,
Passo 3
Podemos integrar em
imediatamente e depois em
:
Use a substituição
,
. Quando
;
. Então
Passo 4
Em coordenadas esféricas
temos
,
,
e
. A esfera impõe
e o cilindro
, ou seja
. Logo
.
Passo 5
Dividimos a integral em duas faixas de
:
- Para
e , tem-se , então . - Para
, tem-se , então .
A integral do volume é
Passo 6
Calculamos as duas partes:
- Caps (
e ) com :
- Região central (
) com :
Somando:
Passo 7
Ambos os métodos levam ao mesmo resultado para o volume da região pedida.