Determine, primeiro utilizando coordenadas cilíndricas e depois coordenadas esféricas, o volume da região interior à esfera de centro na origem e raio 2 e ao cilindro x^2+y^2=1. Resp.: 4 pi3(8-3 raiz3).

Passo 1

O enunciado pede o volume da região satisfazendo simultaneamente à esfera de equação x^2+y^2+z^2<=4 (centro na origem e raio 2) e ao cilindro x^2+y^2=1. Vamos resolver primeiro em coordenadas cilíndricas e depois em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos x=rcostheta, y=rsintheta, e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. A região é dada por
0<= r<=1,0<=theta<=2pi, -raiz4-r^2<= z<=raiz4-r^2
Logo,
V=integral0^2pi!integral0^1!integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Podemos integrar em z imediatamente e depois em r:
V=2piintegral0^12raiz4-r^2;r,dr =4piintegral0^1rraiz4-r^2,dr
Use a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr. Quando r=0,u=4; r=1,u=3. Então
V=4piintegralu=4^3raizucdot(-tfrac12du) =4picdot12integral3^4u^1/2du =2pi[tfrac23u^3/2]3^4 =4pi3l(4^3/2-3^3/2r) =4pi3l(8-3raiz3r)

Passo 4

Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta) temos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A esfera impõe 0<=rho<=2 e o cilindro x^2+y^2=rho^2sin^2phi<=1, ou seja rho<=1/sinphi. Logo rhomax=min(2,1/sinphi).

Passo 5

Dividimos a integral em duas faixas de phi:
  • Para 0<=phi<=pi/6 e 5pi/6<=phi<=pi, tem-se 1/sinphi>=2, então rhomax=2.
  • Para pi/6<=phi<=5pi/6, tem-se 1/sinphi<=2, então rhomax=1/sinphi.
A integral do volume é
V=integral0^2pi!integral0^pi!integral0^rhomax(phi)rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegral0^pisinphi;rhomax^3(phi)3,dphi

Passo 6

Calculamos as duas partes:
  1. Caps ( 0topi/6 e 5pi/6topi) com rhomax=2:
Vcaps=2picdot83cdot2l(1-tfracraiz32r)=32pi3l(1-tfracraiz32r)
  1. Região central ( pi/6to5pi/6) com rhomax=1/sinphi:
Vmid=2piintegralpi/6^5pi/613sin^2phi,dphi =2picdot2raiz33 =4piraiz33
Somando:
V=Vcaps+Vmid =32pi3-16piraiz33+4piraiz33 =4pi3l(8-3raiz3r)

Passo 7

Ambos os métodos levam ao mesmo resultado para o volume da região pedida.

Resposta

4pi3l(8-3raiz3r)

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