Determine a área da superfície. A parte do paraboloide que está acima do plano .
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo de área de superfícies. Precisamos encontrar a área da parte do paraboloide que está acima do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a região sobre a qual vamos calcular a área. A parte do paraboloide que está acima do plano satisfaz a condição:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que estamos trabalhando sobre um disco de raio no plano .
Passo 3
Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, a área diferencial se transforma em e a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , então ou . Os limites de integração para serão de a .
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: