Determine a área da superfície. A parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 que está acima do plano z=-2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de área de superfícies. Precisamos encontrar a área da parte do paraboloide que está acima do plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a região sobre a qual vamos calcular a área. A parte do paraboloide que está acima do plano 1 - x^2 - y^2 >= -2 satisfaz a condição:
x^2 + y^2 <= 3
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que estamos trabalhando sobre um disco de raio no plano .

Passo 3

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
A = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y :
A = integral duplaD raiz1 + ( -2x )^2 + ( -2y )^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde raiz1 + 4r^2 e A = integral0^2pi integral0^raiz3 r raiz1 + 4r^2 , dr , dtheta . Nesse sistema, a área diferencial se transforma em e a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz3 r raiz1 + 4r^2 , dr :
integral1^13 raizu8 , du = 18 cdot 23 u^3/2 |1^13 = 112 (13^3/2 - 1)
Fazendo uma substituição , então ou . Os limites de integração para serão de a .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A = integral0^2pi 112 (13^3/2 - 1) , dtheta = 112 (13^3/2 - 1) cdot 2pi = pi6 (13^3/2 - 1)
Calculando A = pi6 (13 raiz13 - 1) , então:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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