Resolva as equações:
y^2+cos t+(2 t y+e^y) y^prime=0

Passo 1

Temos a equação y^2+cos t+(2ty+e^y)y'=0. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, e vamos precisar verificar se ela é exata e, em caso affirmativo, encontrar a função potencial que gera a solução.

Passo 2

Identificamos M(t,y) = y^2+cos t e N(t,y) = 2ty+e^y. Para testar exatidão, comparamos
partial Mpartial y = 2y
com
partial Npartial t = 2y.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t = M = y^2+cos t.
Integramos em relação a t, tratando y como constante:
Psi(t,y)=integral (y^2+cos t),dt = y^2t + sin t + h(y),
onde h(y) é uma

Passo 4

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N:
partial Psipartial y = 2yt + h'(y) = N = 2ty + e^y
Logo h'(y)=e^y, e integrando obtemos h(y)=e^y+C1.

Passo 5

Juntando tudo, a função potencial é
Psi(t,y)=y^2t + sin t + e^y,
e a solução geral implícita é
y^2t + sin t + e^y = C

Resposta

y^2t + sin t + e^y = C

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