Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime=2 y^4+x^4x y^3

Passo 1

A equação diferencial é dada por y' = 2y^4 + x^4x y^3. Trata-se de uma EDO em primeira ordem que pode ser reduzida a uma forma separável usando a substituição característica de equações homogêneas. Vamos usar o método de substituir y = v x.

Passo 2

Fazendo a troca de variáveis y = v x, calculamos
dydx = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na EDO original, observamos que
y' = 2yx + x^3y^3 = 2v + 1v^3, portanto fica
v + xdvdx = 2v + 1v^3

Passo 4

Isolando dvdx obtemos
xdvdx = v + 1v^3, ou seja
dvdx = v^4 + 1x,v^3

Passo 5

Agora separamos as variáveis:
v^3v^4 + 1,dv = dxx

Passo 6

Integramos ambos os lados. Para a integral à esquerda usamos a substituição t = v^4 + 1, dt = 4v^3,dv, resultando em
integral v^3v^4 + 1,dv = 14integral dtt = 14ln|v^4 + 1| + C1,
enquanto à direita
integral dxx = ln|x| + C2

Passo 7

Igualando e reunindo as constantes,
ln|v^4 + 1| = 4ln|x| + C Longrightarrow v^4 + 1 = C x^4

Passo 8

Voltando à variável original y = vx, temos v = y/x. Assim
l(yxr)^4 + 1 = C x^4 Longrightarrow y^4 + x^4 = C x^8

Resposta

A solução geral é
y^4 + x^4 = C x^8,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados