Determine a área da superfície da porção de
que está acima da região no plano
limitada por
e o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da porção da superfície definida por
que está acima da região do plano
limitada por
,
e o eixo
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A superfície é o gráfico da função
com - A região
no plano é limitada por , e (eixo ). Logo os limites de e são: - O que se pede: calcular a área da porção da superfície sobre
.
Passo 2
Escolha do método (e a fórmula que vamos usar). Para a área de uma superfície dada como gráfico
sobre uma região
no plano
usa-se a fórmula
Explicando essa fórmula de forma simples: ao aproximar a superfície por pequenos elementos planos (pequenos paralelogramos), a área de cada pedaço é a área no plano
multiplicada por um fator que é a norma do vetor normal do gráfico; esse fator é
. Aqui
significa a taxa de variação de
quando mudamos
mantendo
fixo, e
é a taxa de variação quando mudamos
mantendo
fixo. Essas derivadas aparecem porque elas descrevem a inclinação do gráfico nas direções
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias. A função é
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Então o integrando da fórmula da área fica
Passo 4
Montar a integral dupla sobre a região
(usei os limites de
que peguei do enunciado:
,
). Como o integrando
não depende de
, a integral dupla se escreve como integral iterada:
Integrando primeiro em
(simples porque o integrando é independente de
):
Logo a área reduz-se à integral em
:
Passo 5
Resolver a integral unidimensional. Vamos fazer uma substituição que é padrão quando aparece
multiplicando uma função de
. Tome
Então
Alterando os limites: quando
tem
; quando
tem
. A integral fica
Calcule a primitiva:
Portanto
Passo 6
Simplificar a expressão final em forma radical. Lembrando que
, temos
Logo a área simplificada é