Determine a área da superfície da porção de z=3+2 y+\frac{1}{4} x^{4} que está acima da região no plano x y limitada por y=x^{5}, \quad x=1 e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície definida por
z=3+2y+\frac{1}{4}x^{4}
que está acima da região do plano xy limitada por y=x^{5}, x=1 e o eixo x.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é o gráfico da função z=f(x,y) com f(x,y)=3+2y+\frac{1}{4}x^{4}.
  • A região D no plano xy é limitada por y=x^{5}, x=1 e y=0 (eixo x). Logo os limites de x e y são: 0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le x^{5}.
  • O que se pede: calcular a área da porção da superfície sobre D.

Passo 2

Escolha do método (e a fórmula que vamos usar). Para a área de uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy usa-se a fórmula
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\,dA.Á
Explicando essa fórmula de forma simples: ao aproximar a superfície por pequenos elementos planos (pequenos paralelogramos), a área de cada pedaço é a área no plano xy multiplicada por um fator que é a norma do vetor normal do gráfico; esse fator é \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}. Aqui f_x=\partial f/\partial x significa a taxa de variação de f quando mudamos x mantendo y fixo, e f_y=\partial f/\partial y é a taxa de variação quando mudamos y mantendo x fixo. Essas derivadas aparecem porque elas descrevem a inclinação do gráfico nas direções x e y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias. A função é
f(x,y)=3+2y+\frac{1}{4}x^{4}.
Derivando em relação a x (mantendo y fixo):
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{4}x^{4}\right)=x^{3}.
Derivando em relação a y (mantendo x fixo):
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y=\frac{d}{dy}(2y)=2.
Então o integrando da fórmula da área fica
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+x^{6}+4}=\sqrt{5+x^{6}}.

Passo 4

Montar a integral dupla sobre a região D (usei os limites de D que peguei do enunciado: 0\le x\le1, 0\le y\le x^{5}). Como o integrando \sqrt{5+x^{6}} não depende de y, a integral dupla se escreve como integral iterada:
\text{Área}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^{5}}\sqrt{5+x^{6}}\,dy\,dx.Á
Integrando primeiro em y (simples porque o integrando é independente de y):
\int_{y=0}^{x^{5}}\sqrt{5+x^{6}}\,dy = \sqrt{5+x^{6}}\cdot\left[y\right]_{0}^{x^{5}} = x^{5}\sqrt{5+x^{6}}.
Logo a área reduz-se à integral em x:
\text{Área}=\int_{0}^{1} x^{5}\sqrt{5+x^{6}}\,dx.Á

Passo 5

Resolver a integral unidimensional. Vamos fazer uma substituição que é padrão quando aparece x^{5} multiplicando uma função de x^{6}. Tome
u=5+x^{6}.
Então
du=6x^{5}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{5}\,dx=\frac{1}{6}\,du.
Alterando os limites: quando x=0 tem u=5; quando x=1 tem u=6. A integral fica
\text{Área}=\int_{u=5}^{6}\sqrt{u}\cdot\frac{1}{6}\,du=\frac{1}{6}\int_{5}^{6}u^{1/2}\,du.Á
Calcule a primitiva:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\text{Área}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{5}^{6}=\frac{1}{9}\left(6^{3/2}-5^{3/2}\right).Á

Passo 6

Simplificar a expressão final em forma radical. Lembrando que a^{3/2}=a\sqrt{a}, temos
6^{3/2}=6\sqrt{6},\qquad 5^{3/2}=5\sqrt{5}.
Logo a área simplificada é
\text{Área}=\frac{1}{9}\bigl(6\sqrt{6}-5\sqrt{5}\bigr).Á

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}\bigl(6\sqrt{6}-5\sqrt{5}\bigr)

Exercícios relacionados