Determine a área da superfície de revolução gerada pelas equações paramétricas
e
no intervalo de 0 a 4. Entorno do eixo
. (somente a fórmula)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que é gerada quando a curva definida pelas equações paramétricas
e
é girada em torno do eixo
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para a área da superfície de revolução de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a área da superfície de revolução quando giramos uma curva ao redor do eixo
. A fórmula geral é:
Aqui,
é a função que está sendo girada, e
e
são as derivadas das funções paramétricas em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as nossas funções paramétricas e calcular suas derivadas. Dadas as equações:
Calculando as derivadas em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja:
Substituindo na integral:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração avançados, mas para simplificar, vamos reconhecer que o resultado final envolve funções arcosinh ou similares. No entanto, para fins práticos, podemos usar uma calculadora ou software de cálculo para avaliar a integral.
Passo 7
Após calcular a integral, obtemos o valor da área da superfície de revolução.
Resposta
A área da superfície de revolução é: