Determine a área da superfície de revolução gerada pelas equações paramétricas x=t e y=t^2 no intervalo de 0 a 4. Entorno do eixo x. (somente a fórmula)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que é gerada quando a curva definida pelas equações paramétricas e é girada em torno do eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para a área da superfície de revolução de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a área da superfície de revolução quando giramos uma curva ao redor do eixo S = integrala^b 2pi y raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . A fórmula geral é:
Aqui, é a função que está sendo girada, e e são as derivadas das funções paramétricas em relação a .

Passo 3

Vamos identificar as nossas funções paramétricas e calcular suas derivadas. Dadas as equações:
x = t e y = t^2
Calculando as derivadas em relação a dxdt = 1 e dydt = 2t :

Passo 4

Agora, substituímos S = integral0^4 2pi t^2 raiz(1)^2 + (2t)^2 , dt , raiz1 + 4t^2 e S = 2pi integral0^4 t^2 raiz1 + 4t^2 , dt na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja:
u = 1 + 4t^2 Rightarrow dudt = 8t Rightarrow dt = du8t
Substituindo na integral:
S = 2pi integral t^2 raizu8t , du = pi4 integral t raizu , du
Mas como t = raizu - 14 = raizu - 12 , podemos expressar S = pi4 integral raizu - 12 raizu , du = pi8 integral raizu(u - 1) , du em termos de :
Substituindo de volta:

Passo 6

Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração avançados, mas para simplificar, vamos reconhecer que o resultado final envolve funções arcosinh ou similares. No entanto, para fins práticos, podemos usar uma calculadora ou software de cálculo para avaliar a integral.

Passo 7

Após calcular a integral, obtemos o valor da área da superfície de revolução.

Resposta

A área da superfície de revolução é:
S = pi8 integral1^65 raizu(u - 1) , du

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