Encontre a área limitada pelas curvas y=2-x^2 e y=|x|.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . O objetivo é encontrar a área que fica entre essas duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre gráficos de funções, especialmente parábolas e funções valor absoluto, além de como calcular áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Vamos começar identificando onde essas duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os pontos onde .

Passo 3

Como a função valor absoluto 2 - x^2 = x pode ser escrita de duas formas, dependendo do valor de x^2 + x - 2 = 0 , vamos considerar os dois casos:
  1. Quando 2 - x^2 = -x :
    x^2 - x - 2 = 0
    Rearranjando:
    Resolvendo essa equação quadrática, encontramos (descartamos porque ).
  2. Quando :
    Rearranjando:
    Resolvendo essa equação quadrática, encontramos (descartamos porque ).
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar qual delas está acima da outra nesse intervalo. Para entre -1 e 1, a parábola está acima da função valor absoluto .

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções Área = integral-1^1 ( (2 - x^2) - |x| ) dx e de a :
Á

Passo 6

Como as funções Área = 2 times integral0^1 ( (2 - x^2) - x ) dx e são simétricas em relação ao eixo , podemos simplificar o cálculo multiplicando o resultado de a por 2:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão dentro do intervalo de integral0^1 (2 - x^2 - x) dx = integral0^1 2 , dx - integral0^1 x^2 , dx - integral0^1 x , dx a integral0^1 2 , dx = 2x |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2 :
integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13 - 0 = 13
Calculando cada integral:
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12 - 0 = 12

Passo 8

Substituindo os valores encontrados:
integral0^1 (2 - x^2 - x) dx = 2 - 13 - 12 = 126 - 26 - 36 = 76
Multiplicando por 2 para considerar a simetria:
Área = 2 times 76 = 146 = 73 Á

Resposta

A área limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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