Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . O objetivo é encontrar a área que fica entre essas duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre gráficos de funções, especialmente parábolas e funções valor absoluto, além de como calcular áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Vamos começar identificando onde essas duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os pontos onde .
Passo 3
Como a função valor absoluto pode ser escrita de duas formas, dependendo do valor de , vamos considerar os dois casos:
Quando :
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos (descartamos porque ).
Quando :
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos (descartamos porque ).
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar qual delas está acima da outra nesse intervalo. Para entre -1 e 1, a parábola está acima da função valor absoluto .
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos calcular a integral da diferença entre as funções e de a :
Passo 6
Como as funções e são simétricas em relação ao eixo , podemos simplificar o cálculo multiplicando o resultado de a por 2:
Passo 7
Agora, vamos integrar a expressão dentro do intervalo de a :