Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo x.
y=2 x^3, y=0, x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=2x^3, y=0 e x=2 em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou fatias) para integrar em x.

Passo 2

A região está entre a curva y=2x^3 e o eixo x, cortada em x=0 (onde 2x^3=0) e em x=2. Então o intervalo de integração é de x=0 até x=2.
No método dos discos, o raio externo de cada disco é dado por R(x)=y=2x^3 e o raio interno é zero (porque a região vai até o eixo). A área de cada seção transversal é A(x)=pi [R(x)]^2.

Passo 3

Montamos o integral de volume:
V=integral0^2 A(x),dx=integral0^2 pil(2x^3r)^2,dx=piintegral0^24x^6,dx
Agora é só calcular.

Passo 4

Calculemos o integral:
V=4piintegral0^2x^6,dx=4pi[x^77]0^2=4picdot2^77=4picdot1287=512pi7

Resposta

V=dfrac512pi7

Exercícios relacionados