Determine o comprimento das curvas abaixo:
y=13(x^2+2)^32, de x=0 a x=4.

Passo 1

O exercício pede para calcular o comprimento da curva definida por y=tfrac13(x^2+2)^3/2 no intervalo x=0 a x=4. O conteúdo envolvido é o de comprimento de arco de curvas no plano, para o qual vamos usar a fórmula
L=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2,dx
e precisamos obter y'(x) primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar y em relação a x. Como y=tfrac13(x^2+2)^3/2, aplicamos a regra da cadeia. Seja u=x^2+2, então
y=tfrac13u^3/2,
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dydu=tfrac13cdottfrac32u^1/2=tfrac12u^1/2
e
dudx=2x
Pela regra da cadeia,
y'=dydx=dyducdotdudx=tfrac12(x^2+2)^1/2cdot2x = xraizx^2+2

Passo 3

Agora montamos o integrando da fórmula de comprimento:
1+l(y'(x)r)^2 = 1 + x^2(x^2+2) = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2
Então
raiz1+(y')^2 = raiz(x^2+1)^2 = x^2+1 (positiva no intervalo)

Passo 4

Por fim, calculamos o comprimento:
L=integral0^4 (x^2+1),dx = [x^33+x]0^4 = l(643+4r)-0 = 64+123 = 763

Resposta

763

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