Determine a area das superfícies
a) z = raiz(x^2 + y^2), x^2 + y^2 <= 4.

Passo 1

Então, galera, a gente tem um exercício que pede pra gente encontrar a área de uma superfície definida pela equação , onde . Isso aí descreve uma parte de um cone circular, e a gente precisa calcular a área dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação da superfície: . Essa é a equação de um cone com o vértice na origem (0,0,0) e abrindo para cima. A condição nos diz que estamos considerando apenas a parte do cone onde o raio é no máximo 2, ou seja, até o círculo de raio 2 no plano xy.

Passo 3

Para encontrar a área dessa superfície, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada por :
Onde é a região no plano xy, que no nosso caso é .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Então, substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a fórmula da área fica:

Passo 6

A integral é simplesmente a área da região , que é um círculo de raio 2. A área de um círculo é , então:

Passo 7

Agora, multiplicamos pela constante :

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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