Então, galera, a gente tem um exercício que pede pra gente encontrar a área de uma superfície definida pela equação , onde . Isso aí descreve uma parte de um cone circular, e a gente precisa calcular a área dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação da superfície: . Essa é a equação de um cone com o vértice na origem (0,0,0) e abrindo para cima. A condição nos diz que estamos considerando apenas a parte do cone onde o raio é no máximo 2, ou seja, até o círculo de raio 2 no plano xy.
Passo 3
Para encontrar a área dessa superfície, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada por :
Onde é a região no plano xy, que no nosso caso é .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Então, substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a fórmula da área fica:
Passo 6
A integral é simplesmente a área da região , que é um círculo de raio 2. A área de um círculo é , então: