Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos encontrar uma forma fechada para essa série, ou seja, expressá-la usando a notação de somatório. Para isso, vamos precisar conhecer séries geométricas e como somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série. Observamos que cada termo pode ser escrito da seguinte maneira:
onde
começa em 0. Por exemplo:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante.
Passo 3
Reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão comum entre os termos, ou seja, como passamos de um termo para o próximo.
Passo 4
Comparando a nossa série com a forma geral da série geométrica, identificamos:
-
(o primeiro termo da nossa série) -
(pois cada termo é multiplicado por 2 para chegar ao próximo)
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a série converge (ou seja, soma para um valor finito) ou diverge (não soma para um valor finito).
Sabemos que uma série geométrica infinita converge se a razão
satisfaz
. Se
, a série diverge.
No nosso caso,
, e
. Portanto, a série diverge.
Resposta
A série diverge e não possui uma soma finita.