Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
1/4 + 2/4 + 2^2/4 + 2^3/4 + ...

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos encontrar uma forma fechada para essa série, ou seja, expressá-la usando a notação de somatório. Para isso, vamos precisar conhecer séries geométricas e como somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série. Observamos que cada termo pode ser escrito da seguinte maneira:
onde começa em 0. Por exemplo:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante.

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum entre os termos, ou seja, como passamos de um termo para o próximo.

Passo 4

Comparando a nossa série com a forma geral da série geométrica, identificamos:
  • (o primeiro termo da nossa série)
  • (pois cada termo é multiplicado por 2 para chegar ao próximo)

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a série converge (ou seja, soma para um valor finito) ou diverge (não soma para um valor finito).
Sabemos que uma série geométrica infinita converge se a razão satisfaz . Se , a série diverge.
No nosso caso, , e . Portanto, a série diverge.

Resposta

A série diverge e não possui uma soma finita.

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