Determine a área total de um cone de revolução de 6 cm de altura cujo volume é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área total de um cone de revolução que tem 6 cm de altura e um volume de
cm³. Para isso, vamos usar fórmulas de geometria relacionadas a cones, especificamente as do volume e da área total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. Ela é dada por:
Onde:
- $ V $ é o volume
- $ r $ é o raio da base
- $ h $ é a altura do cone
Passo 3
Sabemos que o volume $ V $ é
cm³ e a altura $ h $ é 6 cm. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar o raio $ r $:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos
por 6:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar $ r^2 $:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ r $, tiramos a raiz quadrada de 64:
Passo 6
Agora que temos o raio, vamos calcular a área total do cone. A área total $ A $ de um cone é a soma da área da base e da área lateral.
A fórmula da área total é:
Onde:
- $ l $ é a geratriz do cone
Passo 7
Primeiro, precisamos encontrar a geratriz $ l $. A geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo, então podemos usar o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores de $ r $ e $ l $ na fórmula da área total:
Resposta
A área total do cone é
cm².