Determine a área total de um cone de revolução de 6 cm de altura cujo volume é 128 pi cm^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área total de um cone de revolução que tem 6 cm de altura e um volume de 128pi cm³. Para isso, vamos usar fórmulas de geometria relacionadas a cones, especificamente as do volume e da área total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. Ela é dada por:
V = 13 pi r^2 h
Onde:
  • $ V $ é o volume
  • $ r $ é o raio da base
  • $ h $ é a altura do cone

Passo 3

Sabemos que o volume $ V $ é V cm³ e a altura $ h $ é 6 cm. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar o raio $ r $:
128pi

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos 13 por 6:
128pi = 2pi r^2
Agora, dividimos ambos os lados por 2pi para isolar $ r^2 $:
r^2
128pi2pi = r^2

Passo 5

Para encontrar o valor de $ r $, tiramos a raiz quadrada de 64:
r
r = raiz64

Passo 6

Agora que temos o raio, vamos calcular a área total do cone. A área total $ A $ de um cone é a soma da área da base e da área lateral.
A fórmula da área total é:
A
Onde:
  • $ l $ é a geratriz do cone

Passo 7

Primeiro, precisamos encontrar a geratriz $ l $. A geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo, então podemos usar o teorema de Pitágoras:
l
Substituindo os valores que já temos:
l = raizr^2 + h^2
l = raiz8^2 + 6^2
l = raiz64 + 36
l = raiz100

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores de $ r $ e $ l $ na fórmula da área total:
r
l
A = pi (8)^2 + pi (8)(10)
A = pi (64) + pi (80) ²

Resposta

A área total do cone é 144pi cm².

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