Determine a área total de um prisma triangular oblíquo, sendo a sua seção reta um triângulo equilátero de
de área, a aresta lateral do prisma igual a um dos lados da seção, e a altura do prisma igual à metade da aresta lateral.
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- A seção reta (base) do prisma é um triângulo equilátero cuja área é
. - A aresta lateral do prisma é igual a um dos lados da seção (ou seja, a aresta lateral tem comprimento igual ao lado do triângulo equilátero).
- A altura do prisma (distância entre as bases) é igual à metade da aresta lateral.
- O que o enunciado pede: calcular a área total do prisma (ou seja, a soma da área lateral com as áreas das duas bases).
Passo 2
Precisamos encontrar o comprimento do lado do triângulo equilátero. Use a fórmula da área de um triângulo equilátero:
onde
é a área do triângulo equilátero e
é o comprimento do lado. Aqui
. Substituindo:
Agora vamos isolar
. Multiplicando os dois lados por
e dividindo por
:
Portanto
Ou seja, o lado do triângulo equilátero vale
.
Passo 3
A aresta lateral do prisma é igual a um dos lados da seção, logo o comprimento da aresta lateral é
A altura do prisma
é dada como metade da aresta lateral, então
(Lembre:
é a distância perpendicular entre as duas bases.)
Passo 4
Explicar como calcular a área lateral de um prisma (fórmula e porquê).
- A superfície lateral de um prisma é composta por paralelogramos correspondentes a cada lado da base.
- Cada paralelogramo tem base igual ao lado do polígono de base e “altura” igual à altura do prisma
(a distância entre as bases). Assim a área de cada paralelogramo é (comprimento do lado) . - Somando sobre todos os lados da base obtemos:
onde
é o perímetro da base. Essa fórmula vale para prismas oblíquos também, porque a altura do paralelogramo (a distância entre as arestas correspondentes nas duas bases) é exatamente
.
Passo 5
Calcular o perímetro da base e a área lateral.
O triângulo equilátero tem três lados iguais, então
Aplicando a fórmula da área lateral:
Passo 6
Calcular a área total do prisma: soma da área lateral com duas vezes a área da base.
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Verificação rápida de consistência: unidades estão em
, os valores são positivos e as operações são aritméticas simples — tudo coerente.