Determine a área total de um prisma triangular oblíquo, sendo a sua seção reta um triângulo equilátero de 16 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} de área, a aresta lateral do prisma igual a um dos lados da seção, e a altura do prisma igual à metade da aresta lateral.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A seção reta (base) do prisma é um triângulo equilátero cuja área é \,16\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
  • A aresta lateral do prisma é igual a um dos lados da seção (ou seja, a aresta lateral tem comprimento igual ao lado do triângulo equilátero).
  • A altura do prisma (distância entre as bases) é igual à metade da aresta lateral.
  • O que o enunciado pede: calcular a área total do prisma (ou seja, a soma da área lateral com as áreas das duas bases).

Passo 2

Precisamos encontrar o comprimento do lado do triângulo equilátero. Use a fórmula da área de um triângulo equilátero:
A_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2},
onde A_{\text{base}} é a área do triângulo equilátero e a é o comprimento do lado. Aqui A_{\text{base}}=16\sqrt{3}. Substituindo:
16\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Agora vamos isolar a^{2}. Multiplicando os dois lados por 4 e dividindo por \sqrt{3}:
a^{2}=\frac{4\cdot16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\cdot16=64.
Portanto
a=\sqrt{64}=8.
Ou seja, o lado do triângulo equilátero vale \,8\\ \text{cm}.

Passo 3

A aresta lateral do prisma é igual a um dos lados da seção, logo o comprimento da aresta lateral é
\ell=a=8\\ \text{cm}.
A altura do prisma H é dada como metade da aresta lateral, então
H=\frac{\ell}{2}=\frac{8}{2}=4\\ \text{cm}.
(Lembre: H é a distância perpendicular entre as duas bases.)

Passo 4

Explicar como calcular a área lateral de um prisma (fórmula e porquê).
  • A superfície lateral de um prisma é composta por paralelogramos correspondentes a cada lado da base.
  • Cada paralelogramo tem base igual ao lado do polígono de base e “altura” igual à altura do prisma H (a distância entre as bases). Assim a área de cada paralelogramo é (comprimento do lado) \times H.
  • Somando sobre todos os lados da base obtemos:
A_{\text{lateral}} = P_{\text{base}}\cdot H,
onde P_{\text{base}} é o perímetro da base. Essa fórmula vale para prismas oblíquos também, porque a altura do paralelogramo (a distância entre as arestas correspondentes nas duas bases) é exatamente H.

Passo 5

Calcular o perímetro da base e a área lateral.
O triângulo equilátero tem três lados iguais, então
P_{\text{base}}=3a=3\cdot 8=24\\ \text{cm}.
Aplicando a fórmula da área lateral:
A_{\text{lateral}}=P_{\text{base}}\cdot H=24\cdot 4=96\\ \text{cm}^2.

Passo 6

Calcular a área total do prisma: soma da área lateral com duas vezes a área da base.
A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+2A_{\text{base}}=96+2\cdot\left(16\sqrt{3}\right).
Fazendo a multiplicação:
A_{\text{total}}=96+32\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: unidades estão em \text{cm}^2, os valores são positivos e as operações são aritméticas simples — tudo coerente.

Resposta

96 + 32\sqrt{3}\\ \text{cm}^2

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