Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números
e que a área total do paralelepípedo é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- As dimensões do paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números
. - A área total do paralelepípedo vale
.
O que o problema pede:
- Determinar as dimensões do paralelepípedo (em centímetros).
Passo 2
Entendendo proporcionalidade e definindo variáveis (isso é importante para montar a equação):
- Dizer que as dimensões são proporcionais a
significa que existem números positivos iguais a um mesmo fator de escala multiplicando cada razão. Logo podemos escrever as arestas como
onde
é um número real positivo (as arestas medem comprimento, então tomamos
).
Agora a fórmula da área total de um paralelepípedo retângulo (caixa retangular):
- As três faces distintas têm áreas
, e . - Como cada uma aparece duas vezes (par de faces opostas), a área total
é
Aqui
são os comprimentos das arestas, e essa fórmula soma as áreas de todas as seis faces.
Passo 3
Substituir
,
,
na expressão das áreas das faces e calcular cada produto:
Somando as três áreas distintas:
Passo 4
Usar a fórmula da área total e igualar ao valor dado para encontrar
:
Como
, obtemos a equação
Resolver para
:
portanto
escolhendo o valor positivo porque
representa um comprimento.
Passo 5
Calcular as dimensões substituindo
:
Verificação rápida (pra ficar seguro): calcular
. Assim a área total é
, que confere com o enunciado.