Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 1,2,3 e que a área total do paralelepípedo é 352 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As dimensões do paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números (1,2,3).
  • A área total do paralelepípedo vale (352\\ \mathrm{cm}^2).
O que o problema pede:
  • Determinar as dimensões do paralelepípedo (em centímetros).

Passo 2

Entendendo proporcionalidade e definindo variáveis (isso é importante para montar a equação):
  • Dizer que as dimensões são proporcionais a (1,2,3) significa que existem números positivos iguais a um mesmo fator de escala (k) multiplicando cada razão. Logo podemos escrever as arestas como
a = k,\qquad b = 2k,\qquad c = 3k,
onde (k) é um número real positivo (as arestas medem comprimento, então tomamos (k>0)).
Agora a fórmula da área total de um paralelepípedo retângulo (caixa retangular):
  • As três faces distintas têm áreas (ab), (ac) e (bc).
  • Como cada uma aparece duas vezes (par de faces opostas), a área total A_{\text{total}} é
A_{\text{total}} = 2\,(ab + ac + bc).
Aqui (a,b,c) são os comprimentos das arestas, e essa fórmula soma as áreas de todas as seis faces.

Passo 3

Substituir a=k, b=2k, c=3k na expressão das áreas das faces e calcular cada produto:
ab = k\cdot 2k = 2k^2,
ac = k\cdot 3k = 3k^2,
bc = 2k\cdot 3k = 6k^2.
Somando as três áreas distintas:
ab+ac+bc = 2k^2 + 3k^2 + 6k^2 = 11k^2.

Passo 4

Usar a fórmula da área total e igualar ao valor dado para encontrar k:
A_{\text{total}} = 2\,(ab+ac+bc) = 2\cdot 11k^2 = 22k^2.
Como A_{\text{total}} = 352\\ \mathrm{cm}^2, obtemos a equação
22k^2 = 352.
Resolver para k:
k^2 = \frac{352}{22} = \frac{176}{11} = 16,
portanto
k = \sqrt{16} = 4,
escolhendo o valor positivo porque k representa um comprimento.

Passo 5

Calcular as dimensões substituindo k=4:
a = k = 4\\ \mathrm{cm},
b = 2k = 8\\ \mathrm{cm},
c = 3k = 12\\ \mathrm{cm}.
Verificação rápida (pra ficar seguro): calcular ab+ac+bc = 4\cdot8 + 4\cdot12 + 8\cdot12 = 32 + 48 + 96 = 176. Assim a área total é 2\cdot176 = 352\\ \mathrm{cm}^2, que confere com o enunciado.

Resposta

(4\\ \mathrm{cm},\\\ 8\\ \mathrm{cm},\\\ 12\\ \mathrm{cm})

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