Determine a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo
nos intervalos especificados.
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar a área total da região limitada pela curva $ y = f(x) $ e pelo eixo $ x $ no intervalo de $ x $ de -3 a 2. Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde a curva $ f(x) = -x^{2} - 2x $ intercepta o eixo $ x $. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração onde a função está acima ou abaixo do eixo.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo $ x $, resolvemos a equação:
Fatorando, temos:
As soluções são $ x = 0 $ e $ x = -2 $.
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento da função nos intervalos determinados:
- De $ x = -3 $ a $ x = -2 $, a função está acima do eixo $ x $.
- De $ x = -2 $ a $ x = 0 $, a função está abaixo do eixo $ x $.
- De $ x = 0 $ a $ x = 2 $, a função continua abaixo do eixo $ x $.
Passo 5
A área entre a curva e o eixo $ x $ é calculada pela integral do valor absoluto de $ f(x) $. Para isso, dividimos a integral nos intervalos onde a função está acima e abaixo do eixo.
Passo 6
Calculamos a área total somando as áreas dos intervalos:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Avaliando:
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Avaliando:
Passo 9
Somando as áreas dos dois intervalos:
Resposta
A área total da região é $ \frac{20}{3} $ unidades quadradas.