Determine a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x nos intervalos especificados.
f(x)=-x^2-2 x,-3 <= x <= 2

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar a área total da região limitada pela curva $ y = f(x) $ e pelo eixo $ x $ no intervalo de $ x $ de -3 a 2. Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde a curva $ f(x) = -x^{2} - 2x $ intercepta o eixo $ x $. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração onde a função está acima ou abaixo do eixo.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção com o eixo $ x $, resolvemos a equação:
x
Fatorando, temos:
-f(x) = 0 Rightarrow -x^2 - 2x = 0
As soluções são $ x = 0 $ e $ x = -2 $.

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento da função nos intervalos determinados:
  • De $ x = -3 $ a $ x = -2 $, a função está acima do eixo $ x $.
  • De $ x = -2 $ a $ x = 0 $, a função está abaixo do eixo $ x $.
  • De $ x = 0 $ a $ x = 2 $, a função continua abaixo do eixo $ x $.

Passo 5

A área entre a curva e o eixo $ x $ é calculada pela integral do valor absoluto de $ f(x) $. Para isso, dividimos a integral nos intervalos onde a função está acima e abaixo do eixo.

Passo 6

Calculamos a área total somando as áreas dos intervalos:
Área total = integral-3^-2 f(x) , dx - integral-2^2 f(x) , dx Á

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral-3^-2 (-x^2 - 2x) , dx = -[ x^33 + x^2 ]-3^-2
Avaliando:
-( (-2)^33 + (-2)^2 - ( (-3)^33 + (-3)^2 ) ) = -( -83 + 4 - ( -273 + 9 ) ) = 43

Passo 8

Calculando a segunda integral:
-integral-2^2 (-x^2 - 2x) , dx = integral-2^2 (x^2 + 2x) , dx = [ x^33 + x^2 ]-2^2
Avaliando:
( 83 + 4 ) - ( -83 + 4 ) = 163

Passo 9

Somando as áreas dos dois intervalos:
Área total = 43 + 163 = 203 Á

Resposta

A área total da região é $ \frac{20}{3} $ unidades quadradas.

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