Calcule as integrais definidas a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}} , dx $. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais definidas que envolvem funções com raízes quadradas no denominador. Para resolver, vamos precisar conhecer a antiderivada da função $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $, que está relacionada à função arco seno.
Passo 2
Primeiro, identifique a função que está sendo integrada: $ \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}} $. Podemos reescrever essa expressão como $ 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $. Sabemos que a antiderivada de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ é $ \arcsin(x) $. Então, a antiderivada de $ 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ será $ 4 \arcsin(x) $.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a antiderivada nos limites de integração e subtrair os valores. Assim, temos:
Passo 4
Calculamos cada parte:
- $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $ é o ângulo cujo seno é $ \frac{1}{2} $, que é $ \frac{\pi}{6} $ radianos.
- $ \arcsin(0) $ é o ângulo cujo seno é 0, que é 0 radianos.
Substituindo:
Resposta
O valor da integral definida é $ \frac{2\pi}{3} $.