Resolva a equação diferencial de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem x^-1y'(x) + 2y(x) = 3. Esse é um caso de equação linear de 1ª ordem, e vamos precisar reescrever na forma padrão y' + P(x)y = Q(x), achar o fator integrante e integrar.

Passo 2

Multiplicamos toda a equação por x para eliminar o termo x^-1. Assim obtemos a forma padrão:
y' + 2x,y = 3x

Passo 3

Aqui identificamos P(x)=2x e Q(x)=3x. O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=e^x^2. O lado esquerdo vira derivada do produto e^x^2y:
e^x^2y' + 2x e^x^2y = 3x e^x^2
portanto
ddxl(e^x^2yr) = 3x e^x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^x^2yr),dx = integral 3x e^x^2,dx
No lado direito, fazemos a substituição u=x^2, du=2x,dx, ficando
integral 3x e^x^2,dx = 32integral e^u,du = 32e^u + C = 32e^x^2 + C
Logo
e^x^2y = 32e^x^2 + C

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^x^2:
y(x) = 32 + C e^-x^2

Resposta

y(x)=tfrac32 + C e^-x^2

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