Determine a área total da região limitada pela curva y=f(x) e pelo eixo x nos intervalos especificados.
f(x)=raiz[3]x,-1 <= x <= 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área total da região que está limitada pela curva $ y = f(x) = \sqrt[3]{x} $ e pelo eixo $ x $ no intervalo de $ -1 \leq x \leq 8 $. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = \sqrt[3]{x} $. Sabemos que a raiz cúbica de $ x $ é negativa quando $ x $ é negativo e positiva quando $ x $ é positivo. No nosso intervalo de $ -1 $ a $ 8 $, a função cruza o eixo $ x $ em $ x = 0 $. Isso significa que vamos ter duas áreas distintas: uma abaixo do eixo $ x $ (de $ -1 $ a $ 0 $) e outra acima do eixo $ x $ (de $ 0 $ a $ 8 $).

Passo 3

Para calcular a área total, vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente e depois somá-las. Lembrando que área não pode ser negativa, então, para a parte que está abaixo do eixo $ x $, a gente vai considerar o valor absoluto da função.
A área total $ A $ será:
x
Simplificando:
A

Passo 4

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
integral -raiz[3]x , dx = -integral x^1/3 , dx = -( 34 x^4/3 ) + C
Aplicando os limites de $ -1 $ a $ 0 $:
-1
Para a segunda integral:
0
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 8 $:
-[ 34 x^4/3 ]-1^0 = -( 34 cdot 0^4/3 - 34 cdot (-1)^4/3 ) = -( 0 - 34 ) = 34

Resposta

Somando as duas áreas, a área total da região limitada é:
A = 34 + 12 = 514 ou 12,75 unidades de área á

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