Determine a área total da região limitada pela curva
e pelo eixo
nos intervalos especificados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área total da região que está limitada pela curva $ y = f(x) = \sqrt[3]{x} $ e pelo eixo $ x $ no intervalo de $ -1 \leq x \leq 8 $. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) = \sqrt[3]{x} $. Sabemos que a raiz cúbica de $ x $ é negativa quando $ x $ é negativo e positiva quando $ x $ é positivo. No nosso intervalo de $ -1 $ a $ 8 $, a função cruza o eixo $ x $ em $ x = 0 $. Isso significa que vamos ter duas áreas distintas: uma abaixo do eixo $ x $ (de $ -1 $ a $ 0 $) e outra acima do eixo $ x $ (de $ 0 $ a $ 8 $).
Passo 3
Para calcular a área total, vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente e depois somá-las. Lembrando que área não pode ser negativa, então, para a parte que está abaixo do eixo $ x $, a gente vai considerar o valor absoluto da função.
A área total $ A $ será:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
Aplicando os limites de $ -1 $ a $ 0 $:
Para a segunda integral:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 8 $:
Resposta
Somando as duas áreas, a área total da região limitada é: