Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equações diferenciais aqui. A ideia é achar a solução particular da equação diferencial $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $ que satisfaz as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que precisamos descobrir. Substituindo $ y $ na equação, temos:
y'' - 3y' + 2y = 0
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir a equação por $ e^{rt} $ e ficamos com a equação característica:
y = e^rt

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^2 - 3r + 2 = 0 $. Podemos fatorar essa equação:
r^2 - 3r + 2 = 0
Portanto, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = 2 $.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial homogênea:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^2t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, usamos $ y(0) = 0 $:
C1
Isso nos dá a primeira equação:
C2

Passo 6

Em seguida, encontramos a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 2 $:
y'(t) = C1 e^t cdot 1 + C2 e^2t cdot 2 = C1 e^t + 2 C2 e^2t
Isso nos dá a segunda equação:
y'(0) = 2

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 0 (1) C1 + 2 C2 = 2 (2)
Podemos resolver esse sistema subtraindo a equação (1) da equação (2):
(C1 + 2 C2) - (C1 + C2) = 2 - 0 C2 = 2

Passo 8

Agora que sabemos que $ C_2 = 2 $, podemos substituir na equação (1) para encontrar $ C_1 $:
C2 = 2

Resposta

A solução particular da equação diferencial que satisfaz as condições dadas é:
y(t) = -2 e^t + 2 e^2t

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