Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equações diferenciais aqui. A ideia é achar a solução particular da equação diferencial $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $ que satisfaz as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que precisamos descobrir. Substituindo $ y $ na equação, temos:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir a equação por $ e^{rt} $ e ficamos com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica $ r^2 - 3r + 2 = 0 $. Podemos fatorar essa equação:
Portanto, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = 2 $.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial homogênea:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, usamos $ y(0) = 0 $:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Em seguida, encontramos a derivada de $ y(t) $:
Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 2 $:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema subtraindo a equação (1) da equação (2):
Passo 8
Agora que sabemos que $ C_2 = 2 $, podemos substituir na equação (1) para encontrar $ C_1 $:
Resposta
A solução particular da equação diferencial que satisfaz as condições dadas é: